《几何原本》的思想是伟大的，但它的公理与定义按今天的标准并不严谨。 这套体系基于 G. D. Birkhoff (1932) 的四条公理，循着原本的脉络，把初中常用的几何定理从公理出发逐一证明， 让你看到每条定理的来路。 完整的定理图谱已经上线——你可以从下方任意节点点进去看推导。
在四条公理之前——什么是定义？什么是公理？欧几里得 → 希尔伯特 → Birkhoff，我们为什么从这里出发。
直线上的点与实数之间存在双射，使两点间距离等于对应实数之差的绝对值。
过任意两点存在唯一一条直线。
过一点的所有射线与 [0, 2π) 之间存在双射，角度即对应实数之差。
若两三角形两边成比例且夹角相等，则两三角形相似。
这四条等价于 Hilbert 公理 I + II + III + IV + V，但更直接：把"测量"作为基本概念，让实数承担连续公理的工作。
度量约定：矩形面积 = 长 × 宽、圆面积 πr²、圆周长 2πr 作为基础度量公式直接接受——它们的严格证明需要极限工具，超出本图谱范围；其他面积/弧长公式都由此推出。
下面是从公理一路推到面积公式的完整骨架。每个节点的入边指向它所依赖的公理或更早的定理；点开任一节点即可看到这条定理的推导动画。