同角的余角相等 — 同角的余角相等 · Principia

依赖：量角器公理（角度可作为实数运算）。

陈述

设 $\alpha$ 、 $\beta$ 都与同一个角 $\gamma$ 互余：

\alpha + \gamma = 90^{\circ},\qquad \beta + \gamma = 90^{\circ}.

则 $\alpha = \beta$ 。

$两个直角分别被切成 \alpha + \gamma 与 \beta + \gamma，共享同一个 \gamma ⇒ \alpha = \beta$

第一步：把图示翻译成两个等式。 左侧直角被分成 $\alpha$ 和 $\gamma$ ，右侧直角被分成 $\beta$ 和同一个 $\gamma$ ；两个 $\gamma$ 是同一个角，正是这条定理的"同角"前提。

$左右两个直角各自分裂成 (\alpha\,|\,\gamma) 与 (\beta\,|\,\gamma)，共享 \gamma$

第二步：两式相减， $\gamma$ 项相消。 量角器公理把每个角都化作了一个实数，所以这是普通的实数加减。两式相减让 $\gamma$ 项相消：

(\alpha + \gamma) - (\beta + \gamma) = 90^{\circ} - 90^{\circ} = 0,

即 $\alpha - \beta = 0$ ，故 $\alpha = \beta$ 。 $\blacksquare$

$从两个直角中各自抽掉 \gamma ⇒ 剩下的 \alpha 与 \beta 必相等$

同位余角的可替换性：在任何包含 $\alpha + \gamma = 90^{\circ}$ 的图形里，只要另外验证 $\beta + \gamma = 90^{\circ}$ ，就能把 $\alpha$ 换成 $\beta$ 而不改变其它角度关系。这是后续在直角三角形中"两锐角互余 $\Rightarrow$ 锐角相等"那一类替换的最干净版本。
同角的补角相等（ $180^{\circ}$ 版本）证明完全平行：把 $90^{\circ}$ 换成 $180^{\circ}$ 、把"互余"换成"互补"，论证一字不变。

这条定理的全部内容都在量角器公理里：一旦角能被赋值为实数，余角的等式就只是一道一元线性方程组的相减步骤。几何只剩下"承认角度是实数"这一步，剩下的全是代数。