PRINCIPIA · THEOREM

角平分线唯一

依赖：量角器公理。

陈述

设 ∠AOB\angle AOB 满足 0∘<θ<180∘0^\circ < \theta < 180^\circ，其中 θ=∠AOB\theta = \angle AOB。则在 ∠AOB\angle AOB 的内部存在唯一一条从 OO 出发的射线 OCOC，使得

∠AOC=∠COB=θ2.\angle AOC = \angle COB = \tfrac{\theta}{2}.

这条射线 OCOC 称为 ∠AOB\angle AOB 的平分线。

角平分线唯一示意：在 \angle AOB 内部存在唯一的射线 OC，把 \angle AOB 切成两个相等的 \theta/2

证明

只用 量角器公理 一条：在 ∠AOB\angle AOB 内，从 OAOA 起绕 OO 逆时针扫到 OBOB，每个 φ∈(0,θ)\varphi\in(0,\theta) 都唯一对应一条内部射线 OCφOC_\varphi，且 ∠AOCφ=φ\angle AOC_\varphi = \varphi（量角器给出 (0,θ)(0,\theta) 与 ∠AOB\angle AOB 内部射线之间的双射）。

存在性：取 φ=θ/2∈(0,θ)\varphi = \theta/2 \in (0,\theta)，记对应射线为 OCOC。则 ∠AOC=θ/2\angle AOC = \theta/2，故 ∠COB=θ−θ/2=θ/2=∠AOC\angle COB = \theta - \theta/2 = \theta/2 = \angle AOC。

唯一性：若另有射线 OC′OC' 也平分 ∠AOB\angle AOB，即 ∠AOC′=∠C′OB\angle AOC' = \angle C'OB，则 2∠AOC′=θ2\angle AOC' = \theta，故 ∠AOC′=θ/2=∠AOC\angle AOC' = \theta/2 = \angle AOC。由量角器的单射性，相同的角度值对应同一条内部射线，于是 OC′=OCOC' = OC。■\qquad\blacksquare

Step 1：量角器在 \varphi = \theta/2 处确定 OC（存在）；任何另选的 OC' 经"2\angle AOC' = \theta"被压回到同一条 OC（唯一）

即时推论

  • 等腰三线合一 把"顶角平分线"约化为这条唯一射线，再由对称性证明它同时是底边的中线与高。
  • 三角形内心存在 三条角平分线相交于一点的论证里，每个内角的"那条平分线"都是由本条定理给出的唯一对象——没有这条，"三线交于一点"连陈述都说不清。

备注

证明里没有任何图形操作：既不用翻折，也不用旋转去把 ∠AOC\angle AOC 与 ∠COB\angle COB 叠在一起。我们只是把"平分"这条几何条件翻译成"角度数等于 θ/2\theta/2"这条数值条件，然后调用量角器的双射性。这是 量角器公理 把"角度"代数化之后立刻获得的红利——很多看似需要"搬动"的论证其实只是一次代入。

帮我把这条定理写得更好