邻补角和等于 180°

依赖：量角器公理。

陈述

设 $O$ 是直线 $\ell$ 上一点，$C$、$D$ 分别是 $\ell$ 上 $O$ 两侧的点；再取一个不在 $\ell$ 上的点 $E$。则两个邻补角之和为

$$\angle COE + \angle EOD = 180^\circ.$$

这里"邻补角"指的是两个角共顶点 $O$、共一边 $OE$，而它们另外两条边 $OC$、$OD$ 在同一直线上方向相反。

证明

证明只用到量角器公理（III）的两条直接结论。

第一步：相反射线的夹角是 $180^\circ$。

公理 III 把从 $O$ 出发的所有射线一一对应到 $[0,\,2\pi)$ 中的实数；两条射线的夹角等于对应实数之差（取 $[0,\,\pi]$ 中的代表）。

直线 $\ell$ 上从 $O$ 出发的两条相反射线 $OC$、$OD$，按公理 III 的标定方式对应的实数差恰好是 $\pi$。于是

$$\angle COD = \pi = 180^\circ.$$

第二步：角加性切开 $\angle COD$。

射线 $OE$ 不与 $\ell$ 共线（$E$ 不在 $\ell$ 上），所以由公理 III 连续性蕴含的平面分割：直线 $\ell$ 把平面分成两个互不相交的开半平面，$E$ 必在其中一个内部。两侧情形对称，不妨设 $E$ 在 $\ell$ 的"上"半平面。

把 $\angle COD$ 视作"指向 $\ell$ 上方"的那个 $180^\circ$ 平角，其内部正是 $\ell$ 上方半平面减去 $O$ 这一点。射线 $OE$ 自 $O$ 出发指向 $E$，故整体落在该平角的内部。由公理 III 的角加性

$$\angle COE + \angle EOD = \angle COD.$$

第三步：合并。

把第一步代入第二步：

$$\angle COE + \angle EOD = 180^\circ. \qquad\blacksquare$$

即时推论

• 三角形外角的入口：在 $\triangle ABC$ 中把边 $BC$ 越过 $C$ 延长到点 $X$，则 $\angle ACB$ 与 $\angle ACX$ 共顶点 $C$、共边 $CA$，外两边 $CB$、$CX$ 在直线 $BC$ 上方向相反。由 邻补角 = 180°：

$$\angle ACB + \angle ACX = 180^\circ.$$

这是 外角等于两个不相邻内角之和 的入口式。

• "垂直" 的量化定义：若两直线在某点处所成的一对邻补角相等，则每个角都等于 $\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ$。这正是 "$\ell\perp\ell'$" 的标准定义。

• 对顶角等式的入口：邻补角 = 180° 同时作用在两组邻补角上，相减立即得到 对顶角相等——见下一条定理的证明。

备注

邻补角 = 180° 看上去"显然"，但它实际把两件事正式焊起来：

• 公理 II 告诉我们"两点确定一条直线"——但直线本身没有携带任何"它张开 $180^\circ$"的信息；
• 公理 III 给每条射线一个 $[0,\,2\pi)$ 中的数，并约定相反射线对应的数差为 $\pi$。

是公理 III 这个约定让"直线 = $180^\circ$"成立。邻补角 = 180° 把这个约定连同角加性写成一条可以反复引用的定理，从此以后所有涉及角度加减的论证（对顶角相等 对顶角、三角形内角和等于 180° 内角和、外角等于两个不相邻内角之和 外角等式、圆心角等于同弧圆周角的两倍 圆心角与圆周角……）都从 邻补角 = 180° 这一步出发：把一条直线在某点处切开，再把切出来的两个角相加或相减。