同角的补角相等

依赖：量角器公理（角度可作为实数运算）。

陈述

设 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 为三个角。若 $\alpha$ 与 $\gamma$ 互为补角，$\beta$ 与 $\gamma$ 也互为补角，即

则 $\alpha = \beta$。换言之，同一角的两个补角必相等。

证明

把题设的两条等式并排放好——左图给出 $\alpha + \gamma = 180^{\circ}$，右图给出 $\beta + \gamma = 180^{\circ}$，二者共享同一个 $\gamma$。

由量角器公理，角度是实数，可以作加减运算。两式相减：

$\gamma$ 在等式两侧同时出现、同时被减掉——几何地看，就是把两幅图里同一个 $\gamma$ 弧同时擦掉，剩下的 $\alpha$、$\beta$ 弧自动相等。化简得 $\alpha - \beta = 0$，即 $\alpha = \beta$。$\blacksquare$

即时推论

• 平角的代数化：任何能拼成平角（$180^{\circ}$）的两段，对同一段而言其"另一半"是唯一的。
• 等角代换：在涉及补角的式子里，可以把 $\gamma$ 的补角整体替换，不必区分是 $\alpha$ 还是 $\beta$。
• 直线两侧的对称：一条直线被一条射线划成的两个角，若分别与同一外角互补，则它们彼此相等——这是后续讨论"邻补角"与"对顶角"时的最小代数零件。

备注

这条结论是 同角的余角相等（$90^{\circ}$ 版）的孪生兄弟，证明结构完全一致——只是把常数从 $90^{\circ}$ 换成 $180^{\circ}$。两者都直接落在 量角器公理 上：一旦角度被允许像实数那样加减，"同一项相消"就立刻可用，几何完全退场。