欧拉公式 OI² = R² − 2Rr

依赖：相交弦（圆内一点的"幂"恒等式 $IA \cdot IM = R^2 - OI^2$）、鸡爪定理：A 角平分线交外接圆于弧中点 M ⇒ MI = MB = MC = MIₐ（鸡爪定理 $|MI| = |MB|$）、三角形内切圆 + 内心（内切圆存在 + 内心 $I$ 到边距离 $= r$）、圆心角等于同弧圆周角的两倍（圆周角 $=$ 圆心角的一半）、角平分线 ⇔ 到两边等距（角平分线 + 半角性质）。

陈述

设 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$、内心为 $I$，外接圆半径为 $R$、内切圆半径为 $r$。则两心间距 $OI$ 满足

特别地，由 $OI^2 \ge 0$ 立刻得到 Euler 不等式

且取等号当且仅当 $\triangle ABC$ 是等边三角形（即 $O = I$）。