三角形内切圆 — 存在唯一性

依赖：内心存在（三条角平分线交于 $I$）、角平分线 ⇔ 到两边等距（线上 $\Rightarrow$ 距两边等距）、切线判定（半径过切点 $\wedge$ 半径 $\perp$ 直线 $\Rightarrow$ 切线）。

陈述

设 $\triangle ABC$ 是非退化三角形，$I$ 为其内心（内心存在 给出）。把 $I$ 到任一条边的距离记作

则以 $I$ 为圆心、$r$ 为半径作圆 $\odot(I,\, r)$，该圆与三条边 $AB$、$BC$、$CA$ 都相切。这个圆称为 $\triangle ABC$ 的内切圆，三个切点 $D \in BC$、$E \in CA$、$F \in AB$ 恰好是 $I$ 到三边的垂足。