鸡爪定理（Incenter–Excenter Lemma）

依赖：同 / 等圆中：圆心角 / 弧 / 弦 三者两两等价（弧 = 圆心角）、同弧所对圆周角相等 / 直径所对为直角（同弧圆周角相等）、外角等于两个不相邻内角之和（三角形外角 = 不相邻两内角之和）、等腰三角形判定（等角⇒等腰）（等角 $\Rightarrow$ 等边）、邻补角和等于 180°（邻补角 = $180^\circ$）、90° ⇒ 直径（直角 $\Rightarrow$ 在以斜边为直径的圆上）、外心存在（三点外接圆唯一）。

陈述

已知：$\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$。$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心；$I_a$ 为 $\angle A$ 对应的旁心（即 $\angle B$、$\angle C$ 的外角平分线与 $\angle A$ 的内角平分线的共点）。$\angle A$ 的内角平分线延长后与 $\odot O$ 交于另一点 $M$（即 $\angle BAC$ 平分线与 $\odot O$ 的第二交点）。

求证：