蝴蝶定理

依赖：同弧所对圆周角相等 / 直径所对为直角（同弧圆周角相等）、圆内接四边形对角互补（圆内接四边形对角互补）、AA 相似判定（AA 相似判定）、相交弦（圆内一点的"幂"恒等式）、过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一（点到直线的垂线 + 垂足）。

陈述

已知：$\odot O$ 是一个圆，$\overline{PQ}$ 是它的一条弦，$M$ 是 $\overline{PQ}$ 的中点（即 $|MP| = |MQ|$）。过 $M$ 任作两条弦 $\overline{AB}$、$\overline{CD}$（端点 $A, B, C, D$ 都在 $\odot O$ 上）。连接 $\overline{AD}$、$\overline{BC}$，分别与 $\overline{PQ}$ 相交于 $X$、$Y$。

求证：$M$ 也是 $\overline{XY}$ 的中点，即