垂线存在唯一 — 过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一 · Principia

依赖：量角器公理、邻补角和等于 180°、SAS 全等判定、三角形外角大于任一不相邻内角。

陈述

设 $\ell$ 是一条直线， $P$ 是平面上任一点（ $P\in\ell$ 或 $P\notin\ell$ 均可）。则存在且唯一一条过 $P$ 且与 $\ell$ 垂直的直线 $\ell'$ 。

$两种情形的统一陈述：左侧 P\in\ell 时直接由量角器取 90^\circ 得 \ell'；右侧 P\notin\ell 时构造 \ell' 过 P 与 \ell 垂直于足 F。$

证明

存在性 · 情形 1（ $P\in\ell$ ）。把量角器中心放在 $O = P$ 、始边沿 $\ell$ 的某一射线，由量角器公理取数值 $90^\circ$ 处的射线 $r$ ； $r$ 与其反向射线合为直线 $\ell'$ 。 $\ell'$ 与 $\ell$ 在 $P$ 处所夹角恰为 $90^\circ$ ，故 $\ell'\perp\ell$ 。

存在性 · 情形 2（ $P\notin\ell$ ）。在 $\ell$ 上任取 $A$ 。由量角器公理在 $\ell$ 的另一侧作射线使 $\angle QA\ell = \angle PA\ell$ ，再由 直尺公理 在该射线上取 $Q$ 使 $AQ = AP$ 。 $P$ 、 $Q$ 分居 $\ell$ 的两侧，所以线段 $PQ$ 与 $\ell$ 相交于一点 $F$ 。在 $\triangle PAF$ 与 $\triangle QAF$ 中， $AP = AQ$ 、 $\angle PAF = \angle QAF$ 、 $AF$ 公共，由 SAS 全等判定得 $\triangle PAF\cong\triangle QAF$ ，故 $\angle PFA = \angle QFA$ 。又 $\angle PFA + \angle QFA = 180^\circ$ （邻补角和等于 180°），所以

\angle PFA = \angle QFA = 90^\circ,

即直线 $PQ$ 过 $P$ 且 $\perp\ell$ 。

$情形 2 存在性：把 P 关于 \ell 反射成 Q，\triangle PAF \cong \triangle QAF（SAS），加上邻补角和 180^\circ 推出 \angle PFA = \angle QFA = 90^\circ。$

唯一性。设另有过 $P$ 的直线 $m\perp\ell$ 于 $G\neq F$ 。在 $\triangle PFG$ 中， $\angle PFG = 90^\circ$ ；视 $\angle PG\ell$ 为该三角形在 $G$ 处的外角，由三角形外角大于任一不相邻内角严格大于不相邻内角 $\angle PFG = 90^\circ$ 。但 $m\perp\ell$ 给出 $\angle PG\ell = 90^\circ$ ，与 $>90^\circ$ 矛盾，故过 $P$ 的垂线唯一。 $\blacksquare$

$唯一性反证：设第二条 m\perp\ell 于 G\neq F，则 \triangle PFG 中 \angle PFG = 90^\circ，但 G 处沿 \ell 的外角必 > 90^\circ（外角不等式），与假设的 90^\circ 矛盾。$

即时推论

平行线唯一性（过直线外一点存在唯一平行线（Playfair）的关键引理）：本定理把"过 $P$ 作 $\ell$ 的垂线"显式化，是后续证"过 $P$ 至多一条平行于 $\ell$ 的直线"时构造与比较的几何前提。
垂线段最短（垂线段最短）：唯一垂线让" $P$ 到 $\ell$ 的距离 $= |PF|$ "良定义，所有"垂线段比任何斜线都短"的论证都建立在本定理之上。

备注

两情形的存在性同源——量角器公理按数值生成方向：情形 1 直接取 $90^\circ$ ，情形 2 先在另一侧造对称点 $Q$ ，再让 SAS 把"两侧角相等 + 邻补和 $180^\circ$ "翻译成"各等于 $90^\circ$ "。唯一性这一步走得更深：它依赖三角形外角大于任一不相邻内角而不是更强的"内角和 $= 180^\circ$ "——后者依赖平行公理，而本定理属中性几何结论，两侧的几何通用。