垂直 · 垂线

依赖：量角器公理。属「派生定义」——用不定义项（点、直线）加公理刻画的直角，把一个概念切出来。

定义

设直线 $a$ 与直线 $b$ 相交于点 $O$。它们在 $O$ 处张成四个角。

若这四个角中有一个是直角（即由 量角器公理 量得 $90^\circ$），则称 $a$ 与 $b$ 互相垂直，记作 $a\perp b$。此时称 $a$ 是 $b$ 的垂线，$b$ 也是 $a$ 的垂线；交点 $O$ 叫作垂足。

这是一张精确的「姓名牌」：它不诉诸「看起来像十字」的直观，而是把「垂直」这件事还原为一个可测量的量——$90^\circ$。差一根头发的角度，都被这道篱笆挡在外面。

备注

• 一个直角就够。 四个交角两两为对顶角或邻补角，所以「有一个是 $90^\circ$」立刻推出四个都是 $90^\circ$——定义只需点名其中之一，其余由 邻补角和等于 180° 与对顶角相等补齐。
• 「垂线」这个词预设了存在且唯一。 说「$b$ 的垂线」时，我们默认「过某点向 $b$ 作垂线」这件事能做、且只有一条——那不是本定义的内容，而是要由定理 过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一（过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一）来保证。定义负责「是什么」，定理负责「存在且唯一」。
• 垂直是对称的，但不自反。 $a\perp b$ 当且仅当 $b\perp a$；而任何直线都不垂直于自身。