平行 · 平行线

依赖：点线公理。属「派生定义」——只用「点」「直线」「在……上」这些不定义项，把「永不相遇」切出来。

定义

设 $a$、$b$ 是同一平面内的两条直线。

若 $a$ 与 $b$ 没有公共点，或者 $a$ 与 $b$ 完全重合，则称 $a$ 与 $b$ 互相平行，记作 $a\parallel b$。

把「重合也算平行」纳进来，是为了让平行成为一种等价关系——自反、对称、传递，任何直线都与自身平行。它把「无论延伸到多远都不相交」这句永远验不完的话，一次性钉成一个当下就能判定的关系。

备注

• 「同一平面」不能省。 空间里两条既不相交、又不平行的直线叫异面直线；「平行」这个词只在共面时才有意义，所以定义里那四个字是硬约束，不是修辞。
• 平行 ≠ 同位角相等。 「同位角相等」「内错角相等」是平行的判定与性质（由定理 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 一族给出），不是定义。定义只说「没有公共点」；能不能拿角来检验，是要证明的事。
• 过线外一点的平行线唯一。 「过直线外一点恰有一条平行线」不是本定义的内容，而由定理 过直线外一点存在唯一平行线（Playfair） 保证——它正是欧氏几何那条著名的平行公设。定义负责「是什么」，唯一性由定理负责。