同位角相等 ⇒ 两直线平行

依赖：三角形外角大于任一不相邻内角（Euclid I.16，中性几何结论）；量角器公理（角加性）。

陈述

设直线 $t$ 分别截直线 $\ell_1$、$\ell_2$ 于点 $P_1$、$P_2$（$P_1\neq P_2$）。在 $P_1$ 处由 $t$ 与 $\ell_1$ 围出的角，与在 $P_2$ 处由 $t$ 与 $\ell_2$ 围出的、位置完全对应（同侧 $t$、同侧各自的截线）的那个角，称为一对同位角，记作 $\angle 1$、$\angle 2$。本定理断言：

由 对顶角相等 立得内错角相等 ⇒ 平行 与 同旁内角互补 ⇒ 平行——三者本质上是同一句话。

证明

反证。假设 $\ell_1\not\parallel\ell_2$，则两直线相交于某点 $Q$，得到 $\triangle P_1P_2Q$（$P_1$、$P_2$ 不共线于 $\ell_1\cup\ell_2$ 之外，故三点不共线）。

不妨设 $Q$ 落在 $t$ 的某一侧，$\angle 1$、$\angle 2$ 为 $t$ 另一侧的同位角。在 $P_1$ 处，$\angle 1$ 与三角形的内角 $\angle QP_1P_2$ 互为邻补角（两者沿 $\ell_1$ 拼成 $180^\circ$），故 $\angle 1$ 恰是 $\triangle P_1P_2Q$ 在 $P_1$ 处的外角（沿 $t$ 一侧）。在 $P_2$ 处，$\angle 2$ 就是三角形的内角 $\angle QP_2P_1$ 自身——它是 $\angle 1$ 的非邻内角。

由 三角形外角不等式：

这与题设 $\angle 1 = \angle 2$ 矛盾。故 $\ell_1\parallel\ell_2$。 $\blacksquare$

即时推论

• 内错角 / 同旁内角：在 $P_1$ 处用一次 对顶角相等 把 $\angle 1$ 翻到另一侧，立得"内错角相等 ⇒ 平行"；再用一次"邻补角和等于 $180^\circ$"，立得"同旁内角互补 ⇒ 平行"。
• 过直线外一点作平行线：给定直线 $\ell$ 与外一点 $P$，过 $P$ 作 $t\perp\ell$、再过 $P$ 作 $\ell'\perp t$，则 $t$ 截 $\ell$、$\ell'$ 形成的同位角都是 $90^\circ$，由本定理 $\ell'\parallel\ell$——这给出平行线的存在性（无须平行公理）。
• 承上启下：本定理是 L2 的"中性几何"上限：从这里再往前一步（同位角相等 $\Leftarrow$ 两直线平行）就需要平行公理，那是 L3 的工作。

备注

这是 Euclid I.28 的"半边"——只证 $\Rightarrow$ 方向。$\Leftarrow$ 方向（平行 ⇒ 同位角相等）是 I.29，必须用第五公设；本节连同 三角形外角大于任一不相邻内角、垂线唯一 都仍属"中性几何"，在双曲几何里同样成立。

证明中"$\angle 1$ 是外角、$\angle 2$ 是非邻内角"这一对应关系依赖同位角的位置定义：同侧 $t$、同侧各自截线的那一对——若 $Q$ 在 $t$ 一侧，则 $t$ 另一侧的同位角恰好就是"$P_1$ 外角 / $P_2$ 内角"的搭配。把"同位角"换成另一对（同侧 $Q$ 的那对），证明的角色对换、结论不变。