同旁内角互补 ⇒ 平行

依赖：同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行、邻补角和等于 180°。

陈述

设直线 $t$ 截直线 $\ell_1$、$\ell_2$ 分别于点 $P_1$、$P_2$（$P_1\neq P_2$）。在 $t$ 的同一侧，由 $t$ 与 $\ell_1$ 在 $P_1$ 处围出的角 $\angle 1$、与 $t$ 与 $\ell_2$ 在 $P_2$ 处围出的角 $\angle 2$，称为一对同旁内角——它们位于两截线之间、$t$ 的同侧。本定理断言：

$$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \;\Longrightarrow\; \ell_1 \parallel \ell_2.$$

证明

只用 邻补角和等于 180° 与 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 两条。把 $\angle 1$ 沿 $\ell_1$ 翻到 $P_1$ 的另一侧，便与 $\angle 2$ 同位重合。

第一步：在 $P_1$ 处沿 $\ell_1$ 把 $\angle 1$ 翻为邻补角 $\angle 3$。

在 $P_1$ 处，与 $\angle 1$ 沿 $\ell_1$ 拼成直线的那一对邻补角记作 $\angle 3$（位于 $t$ 的另一侧）。由 邻补角和等于 180°：

$$\angle 3 = 180^\circ - \angle 1.$$

第二步：代入题设把 $\angle 3$ 与 $\angle 2$ 合并为同位角等式。

代入题设 $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$（即 $\angle 2 = 180^\circ - \angle 1$）即得：

$$\angle 3 = \angle 2.$$

按"同位角"的位置定义：$\angle 3$ 在 $t$ 的与 $\angle 1$ 相反一侧、$\ell_1$ 的同侧；它与 $P_2$ 处的 $\angle 2$（位于 $t$ 同侧、各自截线同侧）恰构成一对同位角。同位角相等，由 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 立得 $\ell_1 \parallel \ell_2$。$\blacksquare$

即时推论

• 三种判定本质同一：同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行、内错角相等 ⇒ 平行、同旁内角互补 ⇒ 平行 三者通过 $P_1$ 处一次邻补角 / 对顶角的代数搬动互相导出；它们刻画的是同一件事——"两线被截出的角一致"。

• 垂直与平行：若 $t \perp \ell_1$ 且 $t \perp \ell_2$，则 $\angle 1 = \angle 2 = 90^\circ$，同旁内角和恰为 $180^\circ$，故 $\ell_1 \parallel \ell_2$。这给出"过外一点作平行线"的最直接构造路径。

• 承上启下：本节连同 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 同属"中性几何"——在双曲、椭圆几何里这条 $\Rightarrow$ 方向同样成立；逆方向（平行 ⇒ 同旁内角互补）才需要平行公理。

备注

证明中没有任何"图形操作"——把 $\angle 1$ "翻"到 $\angle 3$ 只是一次邻补角代数：$180^\circ - \angle 1$。整套技巧与 对顶角相等 完全同构——同样是让 $\angle 1$ 这一项在两个等式里都出现，相减就消掉。

这条结论是 Euclid I.28 的另一半：I.28 同时证 "同位角相等 ⇒ 平行" 与 "同旁内角互补 ⇒ 平行"。我们把后者交给前者代为完成，让 三角形外角不等式 这条中性几何的"重武器"只在 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 一处使用，其他两条判定通过代数搬动便可下推。