过直线外一点存在唯一平行线（Playfair）

依赖：同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行（同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行）、从外一点向直线作垂线（过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一）、三角形外角不等式（三角形外角大于任一不相邻内角）。

陈述

设 $\ell$ 是一条直线，$P$ 是 $\ell$ 外一点（$P\notin\ell$）。则过 $P$ 与 $\ell$ 平行的直线存在且仅存在一条。

记这条唯一平行线为 $n$。命题分两半：存在性——能造出至少一条；唯一性——再无第二条。这就是初等几何里赫赫有名的 Playfair 公理——在欧氏几何中它和欧几里得第五公设等价；本节把它当作定理来证，使用的工具仅是前面三条已建结果。

证明

存在性——两次"作垂线"。由 过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一 从 $P$ 向 $\ell$ 作垂线，垂足记作 $F$，得直线 $m\perp\ell$ 于 $F$（且 $P\in m$）。再由 过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一 在 $m$ 上的点 $P$ 处作 $m$ 的垂线，得直线 $n\perp m$ 且 $P\in n$。把 $m$ 视为截线截 $\ell$ 与 $n$：在 $F$ 处 $m\perp\ell$ 给出 $90^\circ$，在 $P$ 处 $m\perp n$ 给出 $90^\circ$，二者位于 $m$ 同侧，是一对同位角且彼此相等。由 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 立得 $n\parallel\ell$。

唯一性——反证 + 三角形外角大于任一不相邻内角。假设另有直线 $\ell'\neq n$ 也过 $P$ 且 $\ell'\parallel\ell$。考察 $\ell'$ 与 $m$ 在 $P$ 处的角：若该角 $=90^\circ$，则 $\ell'\perp m$ 于 $P$；但 $n$ 已经是 $m$ 在 $P$ 处的垂线，由 过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一 的唯一性得 $\ell'=n$，与假设矛盾。故该角 $\neq 90^\circ$。不失一般性记 $\ell'$ 与 $m$ 在 $P$ 处的两对竖角中的锐角为 $\theta$（$\theta<90^\circ$），并记 $r$ 为 $\ell'$ 上从 $P$ 出发、落入"$\ell$ 所在那一半平面（即 $F$ 所在侧）"的射线，使得 $r$ 与射线 $PF$ 的夹角恰是 $\theta$（这一侧是 $\theta$ 出现的那一侧；另一侧出现的是 $\theta$ 的补角）。

关键一步——挑一个尺寸够大的三角形。在射线 $PF$ 出发后沿 $\ell$ 走得足够远取一点 $F''\in\ell$，使得 $\triangle PFF''$ 在 $P$ 处的内角 $\angle FPF''$ 大于 $\theta$。这一步可由量角公理（公理 III）兑现：随 $F''$ 沿 $\ell$ 远离 $F$，$\angle FPF''$ 在 $[0^\circ,90^\circ)$ 内取遍所有值并不断逼近 $90^\circ$；既然 $\theta<90^\circ$，存在 $F''$ 使 $\angle FPF''>\theta$。固定这样的 $F''$。

考察 $\triangle PFF''$。在 $F$ 处 $\angle PFF''=90^\circ$（因 $m\perp\ell$）。在 $P$ 处，射线 $PF$ 与射线 $PF''$ 的夹角是 $\angle FPF''>\theta$，而 $r$ 与射线 $PF$ 的夹角恰是 $\theta$；又 $r$ 与射线 $PF''$ 落在射线 $PF$ 的同一侧（皆在 $\ell$ 所在半平面、$F$ 这一侧），故 $r$ 位于 $\angle FPF''$ 的内部（角加性，公理 III）。换言之：射线 $r$ 起自 $P$、沿 $\ell'$ 进入 $\triangle PFF''$ 的内部。

由 三角形外角大于任一不相邻内角 的一项标准推论（亦称 Pasch 配套引理）：从三角形一顶点出发、进入三角形内部的射线，必交三角形对边——这里"对边"是 $FF''\subset\ell$。故 $r$ 必与 $\ell$ 相交。但 $r\subset\ell'$，于是 $\ell'$ 与 $\ell$ 相交，与假设 $\ell'\parallel\ell$ 直接矛盾。

综上，过 $P$ 与 $\ell$ 平行的直线只能是 $n$。 $\blacksquare$

即时推论

• 平行的传递性：若 $a\parallel b$ 且 $b\parallel c$（$a,b,c$ 两两不同），则 $a\parallel c$。否则 $a\cap c\ni P$，过 $P$ 同时存在 $a$ 与 $c$ 两条与 $b$ 平行的直线，与 平行唯一 矛盾。这条传递性是后续平行四边形、相似形论证的基础。
• 同位角逆定理雏形：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。证明用 平行唯一 反证：若同位角不等，则在被截点处可作另一条直线，使其与截线的同位角等于第一条线的对应同位角；由 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 这条新线也平行于第一条直线，但它过同一截点又平行同一直线，与 平行唯一 矛盾。
• 三角形内角和 $=180^\circ$：经典证法在三角形某顶点作底边的平行线，把另两个顶角通过同位角与内错角搬到顶点处合成一条直线。整套搬运的"那条唯一平行辅助线"由 平行唯一 选定。

备注

Playfair 在体系里的地位——欧氏体系里这条结论有两种等价的"立法身份"：要么把 Playfair 公理当作公设直接写下；要么像本节这样，由 过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一（保证垂线存在与唯一）+ 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行（同位角等 $\Rightarrow$ 平行）+ 三角形外角大于任一不相邻内角（堵住"另一条平行线"）三条联合证明。后者揭示了平行唯一性的真正硬度集中在 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 的"同位角等 $\Rightarrow$ 平行"这一条上——一旦放到双曲几何，三角形外角大于任一不相邻内角 仍成立但 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 失效，于是过 $P$ 的平行线变成无穷多条。

唯一性证明的两段式结构——证明里有两处剥离的小细节。第一，把"$\ell'\perp m$"（边界情形）单独剥出，归入 过一点作已知直线的垂线 · 存在且唯一 的唯一性；剩下的"$\ell'$ 与 $m$ 不垂直"再去对接 三角形外角大于任一不相邻内角。第二，原始草稿里的写法是直接读"$\triangle PFF'$ 在 $P$ 处的外角 $=\theta$"，但这条等式在初等图示下并不成立——边 $PF'$ 并非沿 $\ell'$（$F'$ 是 $Q$ 在 $\ell$ 上的投影、不在 $\ell'$ 上），所以三角形 $\triangle PFF'$ 的"外角"和"$\ell'$ 与 $m$ 的夹角"是两个不同的角。本节把它修正为**"取尺寸足够大的 $\triangle PFF''$ 使 $r$ 进入其内部，再用射线—对边引理"**，这样 三角形外角大于任一不相邻内角 的应用方式是其标准推论之一（射线进入三角形内部必交对边），逻辑链彻底闭合。

双曲几何的对照——值得一记：在双曲几何里，过 $P$ 与 $\ell$ 平行的直线有无穷多条，介于"两条极限平行线"之间的全部直线都不与 $\ell$ 相交。本节"取 $F''$ 使 $\angle FPF''>\theta$"那一步在双曲下仍成立（量角公理是中性的），但"$r$ 进入 $\triangle PFF''$ 内部 $\Rightarrow$ $r$ 交对边"这条 三角形外角大于任一不相邻内角 的推论也成立——双曲下失败的不是这一步，而是"$\ell'\parallel\ell$ 的另一对存在性可以用 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 直接排除"那一步：双曲下一个角度不再唯一决定一条平行线方向。