距离 · 长度

依赖：尺子公理。属「派生定义」——把「两点间有多远」还原为直尺公理给出的一个实数。

定义

设 $A$、$B$ 是平面上两点。尺子公理（直尺公理）为每条直线配了一把「坐标尺」，让直线上每个点对应一个实数——它的坐标。

当 $A$、$B$ 落在同一条直线上时，它们坐标之差的绝对值不随选哪把尺而变；这个数就叫 $A$ 到 $B$ 的距离，记作 $|AB|$（也写作 $AB$），也就是线段 $AB$ 的长度。

这是把「远近」这件靠肉眼比划的事，钉死成一个可加、可比较的实数。差一丝一毫，都由这个数说了算——这正是整套几何能「算」而不只是「看」的起点。

备注

• 非负、对称、重合才为零。 $|AB|\ge 0$；$|AB|=0$ 当且仅当 $A=B$；$|AB|=|BA|$。这三条是距离作为「度量」的最低要求，全部由 尺子公理 直接给出，不必另证。
• 说的是点到点。 本定义只管两个点之间。「点到直线的距离」「两平行线间的距离」是更晚的派生概念——它们得先有「垂线段最短」之类的定理，把「最近」这件事确定下来，才谈得上。
• 三角不等式不是白送的。 $|AC|\le|AB|+|BC|$（等号当且仅当 $B$ 在线段 $AC$ 上）看着显然，其实要由定理来保证。定义只负责「一段有多长」，不负责「绕路更远」。