SAS 全等判定

依赖：SAS 相似公理。

陈述

设 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 都非退化（即三顶点不共线），且满足

$$|AB| = |A'B'|,\qquad |AC| = |A'C'|,\qquad \angle BAC = \angle B'A'C'.$$

则两三角形全等：

$$\triangle ABC \;\cong\; \triangle A'B'C',$$

即三对对应边相等、三对对应角相等。

证明

SAS 全等 是公理 IV 的退化版本——把相似比 $k$ 设为 $1$ 的特例。

公理 IV（SAS 相似）原文：若

$$\frac{|A'B'|}{|AB|} \;=\; \frac{|A'C'|}{|AC|} \;=\; k,\qquad \angle BAC \;=\; \angle B'A'C',$$

则 $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$，进一步

$$\frac{|B'C'|}{|BC|} = k,\quad \angle ABC = \angle A'B'C',\quad \angle ACB = \angle A'C'B'.$$

代入题设条件 $|AB|=|A'B'|$、$|AC|=|A'C'|$，立即得到

$$k \;=\; \frac{|A'B'|}{|AB|} \;=\; \frac{|AB|}{|AB|} \;=\; 1.$$

把 $k=1$ 代回相似的三条结论：

• $\dfrac{|B'C'|}{|BC|} = 1$，故 $|B'C'| = |BC|$；
• $\angle ABC = \angle A'B'C'$（与 $k$ 无关，相似总成立）；
• $\angle ACB = \angle A'C'B'$（同上）。

加上题设直接给出的 $|AB|=|A'B'|$、$|AC|=|A'C'|$、$\angle BAC = \angle B'A'C'$，三对对应边、三对对应角全部相等，按定义两三角形全等。$\qquad\blacksquare$

即时推论

• "全等" = "$k=1$ 的相似"：SAS 全等 把"全等"正式纳入"相似"的特例。从此以后所有需要"复制一个三角形"的论证（等腰三角形底角相等 等腰底角、SSS 全等判定 SSS、垂直平分线 ⇔ 到两端点等距 垂直平分线轨迹……），都可以一步到位调 SAS 全等，不必再回到公理 IV。

• 复合判定的统一收尾：ASA（ASA 全等判定）、SSS（SSS 全等判定）、AAS（AAS 全等判定）、HL（HL 全等判定（直角三角形））等判定的最后一步都是把所掌握的判定信息翻译成"两边一夹角"，再调一次 SAS 全等。

• "刚体运动"的代数版本：把欧几里得"两个三角形可以彼此重合"翻译成"对应边、对应角逐项相等"——SAS 全等 让欧几里得用过的"叠合"动作变成纯代数等式系统，省掉对刚体运动的几何直觉假设。

备注

SAS 全等 是四公理体系里最便宜的一条定理：证明只是把公理 IV 的参数 $k$ 设为 $1$。但它在初中几何里却最常用——后面绝大多数证明都把它当成"基础动作"。

SAS 全等 的"短"恰恰是 Birkhoff 体系相对于 Hilbert 的一处优势：Hilbert 把 SAS 全等作为单独一条公理（Group III），而把"相似"作为后续独立理论；Birkhoff 把这两件事合并进公理 IV，SAS 全等 只是把它退化引用一次。