PRINCIPIA · DEFINITION

全等

两个图形全等，是指顶点之间存在一一对应，使每对对应边等长、每对对应角等度——等价地说，一个能不改变形状与大小地叠合到另一个上，记作 ≅。

依赖：距离 · 长度、角。属「派生定义」——把「两个图形完全一样」拆成两句可核对的等式：对应边的距离相等、对应角的角度相等。

定义

设在两个图形的顶点之间给定了一个一一对应。

两个三角形，三对对应边用等长记号、三对对应角用弧线一一对应标出，二者全等 \cong。

若在这个对应下，每一对对应边的距离都相等、每一对对应角的角度都相等，就称这两个图形全等，记作 ≅\cong。

对三角形，△ABC≅△A′B′C′\triangle ABC \cong \triangle A'B'C' 就是说，在 A ⁣↔ ⁣A′A\!\leftrightarrow\!A'、B ⁣↔ ⁣B′B\!\leftrightarrow\!B'、C ⁣↔ ⁣C′C\!\leftrightarrow\!C' 这个对应下：

∣AB∣=∣A′B′∣,  ∣BC∣=∣B′C′∣,  ∣CA∣=∣C′A′∣,∠A=∠A′,  ∠B=∠B′,  ∠C=∠C′.|AB|=|A'B'|,\; |BC|=|B'C'|,\; |CA|=|C'A'|,\quad \angle A=\angle A',\; \angle B=\angle B',\; \angle C=\angle C'.

直觉上，全等就是「一个能搬过去、翻过来，严丝合缝盖在另一个上」——欧几里得的「叠合」，在这里被翻译成六个可以逐条核对的等式。

备注

  • 全等 = 相似比为 1 的相似。 全等是相似的特例——对应角相等、且对应边之比恰好是 11。所以第 Ⅳ 公理（SAS 相似公理）一退化（比 k=1k=1），立刻给出「两边一夹角对应相等 ⇒\Rightarrow 全等」。
  • 对应关系是定义的一部分。 写 △ABC≅△A′B′C′\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'，字母的顺序就指定了谁配谁——AA 配 A′A'、BB 配 B′B'。换个顺序，说的就是另一种对应，未必成立。
  • 不必验满六个。 定义要六项全对，但判定定理（SAS 全等判定、SSS 全等判定、ASA 全等判定、AAS 全等判定、HL 全等判定（直角三角形））告诉我们：只要三个独立的量对上，其余三个自动跟着相等。这正是「三角形刚性」的威力。