中点

依赖：尺子公理、距离 · 长度。属「派生定义」——用直尺公理给出的「在……之间」，加上相等的距离，切出线段正中央那一点。

定义

设 $A$、$B$ 是两个不同的点，$M$ 是线段 $AB$ 上的一点。

若 $M$ 在 $A$ 与 $B$ 之间，且 $|AM|=|MB|$，则称 $M$ 为线段 $AB$ 的中点。

「在之间」把 $M$ 摁在线段内、不许跑到延长线上；「$|AM|=|MB|$」——两段的距离相等——保证它不偏不倚正落在正中。两个条件缺一不可。

备注

• 存在且唯一。 尺子公理 把线段 $AB$ 实数化后，坐标为 $\tfrac{x_A+x_B}{2}$ 的点既在之间、又到两端等距，且只此一个——所以「$AB$ 的中点」这一说法所预设的「能取到、且只有一个」，由公理直接兑现，无需额外假设。
• 等距与在之间，两个都要。 只要 $|MA|=|MB|$ 而不管「在之间」，刻画的是 $AB$ 的垂直平分线（垂直平分线 ⇔ 到两端点等距）——那是一整条直线，上面每点都到两端等距。中点，正是这条垂直平分线与线段 $AB$ 的交点。
• 中点是把线段「对折」的那道折痕的落点。 由它出发，才有三角形的中线、中位线（三角形中位线定理）、以及以它为对称中心的点对称——初中几何里大量构造都从「取中点」这一步起手。