AAS 全等 — AAS 全等判定 · Principia

依赖：ASA 全等判定与三角形内角和等于 180°。

陈述

设两个三角形 $\triangle ABC$ 、 $\triangle A'B'C'$ 满足

\angle A = \angle A',\qquad \angle B = \angle B',\qquad |BC| = |B'C'|.

注意： $BC$ 是 $\angle B$ 与 $\angle C$ 的夹边，但 $\angle A$ 不与 $BC$ 相邻——也就是说，已知数据是"两个角 + 一条非夹边"。则 $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ 。

$AAS 全等示意：\angle A = \angle A'、\angle B = \angle B'、|BC| = |B'C'| ⇒ \triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$

证明

第一步：由三角形内角和补出第三个角。 由 三角形内角和等于 $180^\circ$ ，两个三角形分别有 $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ 与 $\angle A' + \angle B' + \angle C' = 180^\circ$ 。代入题设 $\angle A = \angle A'$ 、 $\angle B = \angle B'$ 即得

\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A' - \angle B' = \angle C'.

$Step 1：三角形内角和给出 \angle C = \angle C'$

第二步：把已知重排成 ASA 的输入。 现在 $\angle B = \angle B'$ 、 $|BC| = |B'C'|$ 、 $\angle C = \angle C'$ 三件事齐全—— $BC$ 正是 $\angle B$ 与 $\angle C$ 的夹边——这正是 ASA 全等判定的输入（两角夹一边），故 $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ 。 $\blacksquare$

$Step 2：(∠B, BC, ∠C) 形如 ASA 输入 ⇒ \triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$

即时推论

"两角 + 任一边"判定全等：把 AAS 全等判定 与 ASA 全等判定合并，只要两个三角形有两组对应角相等、再加任意一条对应边相等，就能判定全等。这条复合形式在做题时使用频率比单独的 ASA 高得多。
直角三角形的"一锐角 + 一边"：直角三角形已锁定一个 $90^\circ$ 的角，只要再给出一个锐角 + 任一条边，AAS 全等判定 立刻把它判全等（HL 之外最常用的直角全等套路）。
常见学生陷阱：AAS 与 ASA 的区别只在那条边的位置——ASA 要求边在两角之间，AAS 要求边在两角之外。一旦 三角形内角和等于 $180^\circ$ 把第三个角补出来，"非夹边"这件事就不再是问题，所以两条定理实质上是同一件事的两种摆法；记住先把第三个角算出来即可。

备注

AAS 全等判定 不是新的几何内容，而是一次"代数补角"的封装：三角形内角和等于 $180^\circ$ 把 $\angle C$ 解出来后，剩下的工作完全交给 ASA 全等判定。这种"用一条独立的代数恒等式把 ASA 的输入凑齐"的手法在初等几何里反复出现，是把已知条件翻译成已有定理输入的典范。

需要额外强调一点：本证明真正依赖的不是"两个角分别相等"，而是"两个角的和相等"——任意能保证 $\angle A + \angle B = \angle A' + \angle B'$ 的条件都足以推出 $\angle C = \angle C'$ ，从而切回 ASA 全等判定。这是 AAS 全等判定 在更一般的几何论证里被反复借用的原因。