SSS 全等判定

依赖：SAS 全等判定、等腰三角形底角相等。 证明中辅助构造另需 尺子公理（"沿射线取定长"）、量角器公理（"指定侧 + 指定角度的射线唯一"）——作为"几何工具的常识"在所有定理证明中默认可用。

陈述

设 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 都非退化，且三对对应边相等：

$$|AB|=|A'B'|,\quad |BC|=|B'C'|,\quad |CA|=|C'A'|.$$

则

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'.$$

证明

策略：把 $\triangle A'B'C'$ "翻折"复制到 $\triangle ABC$ 所在平面、与 $C$ 相对于直线 $AB$ 的另一侧，得到副本顶点 $C^*$。这样 $C$ 与 $C^*$ 关于 $AB$ 形成一个"风筝形"：$|AC|=|AC^*|$、$|BC|=|BC^*|$。两次应用 等腰三角形底角相等 得两个等腰三角形的底角相等；通过角加性把 $\angle ACB$ 与 $\angle AC^*B$ 翻译成同一组分量的同号组合；用 SAS 全等判定 收尾。

第一步：构造 $\triangle ABC^*$，使其与 $\triangle A'B'C'$ 全等。

由公理 III，从顶点 $A$ 出发、与射线 $AB$ 在"与 $C$ 相反一侧"形成角度 $\angle B'A'C'$ 的射线存在且唯一。在该射线上由公理 I 取距离为 $|A'C'|$ 的点，记为 $C^*$。这一构造给出

$$\angle BAC^* = \angle B'A'C',\qquad |AC^*| = |A'C'|.$$

把 SAS 应用到 $\triangle ABC^*$ 与 $\triangle A'B'C'$：

• $|AB|=|A'B'|$（题设）；
• $\angle BAC^* = \angle B'A'C'$（构造）；
• $|AC^*|=|A'C'|$（构造）。

故 $\triangle ABC^* \cong \triangle A'B'C'$，读出第三对应边

$$|BC^*| = |B'C'| = |BC|.$$

至此

$$|AC|=|AC^*|=|A'C'|,\qquad |BC|=|BC^*|=|B'C'|.\tag{i}$$

第二步：风筝里两条等腰带来的两组底角相等。

由构造 $C$ 与 $C^*$ 在直线 $AB$ 两侧。由公理 III 的连续性蕴含的平面分割性质，线段 $CC^*$ 必跨过直线 $AB$ 于一点 $M$。

由 (i)，$\triangle ACC^*$ 是以 $A$ 为顶点的等腰三角形（两腰 $|AC|=|AC^*|$）；由 等腰三角形底角相等，

$$\angle ACC^* = \angle AC^*C. \tag{$\star$}$$

类似地 $\triangle BCC^*$ 等腰、$B$ 为顶点，由 等腰三角形底角相等

$$\angle BCC^* = \angle BC^*C. \tag{$\star\star$}$$

第三步：分情况由角加性得 $\angle ACB = \angle AC^*B$。

设 $M$ 是线段 $CC^*$ 与直线 $AB$ 的交点。在顶点 $C$ 处，射线 $CM$ 与射线 $CC^*$ 重合（因为 $M$ 在线段 $CC^*$ 内部，$M$ 在 $C$ 与 $C^*$ 之间）。所以"射线 $CC^*$ 是否落在 $\angle ACB$ 内"完全等价于"$M$ 是否落在以射线 $CA$、$CB$ 为边界的区域内"——而 $M$ 又在直线 $AB$ 上，所以决定因素是：$M$ 相对于线段 $AB$ 的位置。同样的判定在顶点 $C^*$ 处给出：射线 $C^*M = C^*C$ 是否落在 $\angle AC^*B$ 内，也由"$M$ 相对于线段 $AB$ 的位置"决定。

注意 $M$ 是同一个点，它的位置对 $C$ 处、$C^*$ 处的判定结果完全一致。因此 $C$ 处和 $C^*$ 处的角加性形式必然取同样的符号。具体地：

• 情况 I（$M$ 在线段 $AB$ 严格内部）：射线 $CC^*$ 在 $\angle ACB$ 内部，对称地射线 $C^*C$ 在 $\angle AC^*B$ 内部。由角加性

$$\angle ACB = \angle ACC^* + \angle C^*CB,\qquad \angle AC^*B = \angle AC^*C + \angle CC^*B.$$

由 $(\star)$、$(\star\star)$ 两式右端逐项相等。

• 情况 II（$M$ 在射线 $AB$ 上、$B$ 之外，即 $B$ 在 $A$ 与 $M$ 之间）：射线 $CC^*$ 落在 $\angle ACB$ 外部、$B$ 一侧；对称地射线 $C^*C$ 落在 $\angle AC^*B$ 外部、$B$ 一侧。由角加性

$$\angle ACC^* = \angle ACB + \angle BCC^*,\qquad \angle AC^*C = \angle AC^*B + \angle BC^*C.$$

变形后

$$\angle ACB = \angle ACC^* - \angle BCC^*,\qquad \angle AC^*B = \angle AC^*C - \angle BC^*C,$$

由 $(\star)$、$(\star\star)$ 两式右端再次逐项相等。

• 情况 III（$M$ 在射线 $BA$ 上、$A$ 之外）：完全对称于情况 II，由 $(\star)$、$(\star\star)$ 同样得到等式。

• 边界情况（$M = A$ 或 $M = B$）：此时 $A$、$C$、$C^*$ 三点（或 $B$、$C$、$C^*$ 三点）共线。例如 $M=A$ 时，射线 $CA$ 与射线 $CC^*$ 是同一条（都从 $C$ 指向 $A$ 且 $C^*$ 也在该方向上）；$(\star)$ 退化为 $0 = 0$，$(\star\star)$ 直接给出 $\angle BCA = \angle BC^*A$，等式仍然成立。

综合所有情况：

$$\angle ACB = \angle AC^*B. \tag{ii}$$

第四步：SAS 全等判定** 在 $C$ 与 $C^*$ 处收尾。**

把 SAS 应用到 $\triangle ACB$ 与 $\triangle AC^*B$，夹角分别在 $C$、$C^*$：

• $|CA|=|C^*A|$ 由 (i)；
• $\angle ACB = \angle AC^*B$ 由 (ii)；
• $|CB|=|C^*B|$ 由 (i)。

故 $\triangle ACB \cong \triangle AC^*B$，读出 $\angle CAB = \angle C^*AB$。代入第一步的构造 $\angle C^*AB = \angle C'A'B'$：

$$\angle CAB = \angle C'A'B'.$$

最后再次用 SAS 在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 上（夹角在 $A$、$A'$）：

• $|AB|=|A'B'|$；
• $\angle BAC = \angle B'A'C'$（刚得）；
• $|AC|=|A'C'|$。

得到 $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$。$\qquad\blacksquare$

即时推论

• 三角形的"刚性"：SAS 全等判定、ASA 全等判定、SSS 全等 三条全等判定合在一起说明了一个深的事实——只要三对独立测量量（三边、两边一夹角、两角一夹边）确定，三角形的形状和位置（在容许翻折的意义下）就完全确定。这是初中几何"三角形不可形变"几乎所有应用（桁架结构、三角测量）背后的数学事实。

• SSS 相似的入口**：要证三对对应边成比例 $\Rightarrow$ 相似，套路是先把两三角形按比例缩放使三边对应相等，再用 SSS 全等 完成全等收尾。

• 垂直平分线轨迹的"$\Leftarrow$"方向：除了用 ASA 全等判定/等腰三角形判定（等角⇒等腰） 走"等腰底角"路线之外，也可以纯靠 SSS 全等：若 $|PC|=|PD|$ 且 $M$ 是 $CD$ 中点，则 $\triangle PMC$ 与 $\triangle PMD$ 三对应边相等，SSS 全等 给出全等，$\angle PMC=\angle PMD=90^\circ$。

备注

SSS 全等 是初中三大全等判定里最难证的一条——SAS 全等判定 是 0 步（公理 IV 直接退化），ASA 全等判定 是 1 步（一次 SAS 全等判定 + 公理 III 的射线唯一），而 SSS 全等 需要把两次 等腰三角形底角相等 + 一次额外的 SAS 全等判定 拼起来，外加构造 $C^*$ 的"翻折"步骤。

证明里第三步显式列出四种情况：很多教材一句"由对称性"绕开这一步，但 Birkhoff 体系不预设刚体运动，所以"对称"必须由角加性 + 等腰三角形底角相等 算出来。情况枚举里真正起作用的事实是：$M$ 是直线 $CC^*$ 与直线 $AB$ 的唯一交点（公理 II 给出），其位置同时决定了 $C$ 处和 $C^*$ 处角加性的取号——这一点的"同步性"才是"风筝形对称"的代数化身。