PRINCIPIA · DEFINITION

相似

两个图形相似，是指顶点之间存在一一对应，使每对对应角相等、每对对应边成同一个比例——形状相同、大小可不同，记作 ∼，那个公共比例叫相似比。

依赖：SAS 相似公理、距离 · 长度、角。属「派生定义」——把「形状相同、大小可不同」拆成两句：对应角相等、对应边的距离成同一个比例。

定义

设在两个图形的顶点之间给定了一个一一对应。

一大一小两个同形三角形，三对对应角用相同弧数标出，二者相似 \sim。

若在这个对应下，每一对对应角都相等，且每一对对应边的距离之比都等于同一个常数 kk，就称这两个图形相似，记作 ∼\sim；这个公共的比值 kk 叫相似比。

对三角形，△ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' 就是说：

∠A=∠A′,  ∠B=∠B′,  ∠C=∠C′,∣A′B′∣∣AB∣=∣B′C′∣∣BC∣=∣C′A′∣∣CA∣=k.\angle A=\angle A',\;\angle B=\angle B',\;\angle C=\angle C',\qquad \frac{|A'B'|}{|AB|}=\frac{|B'C'|}{|BC|}=\frac{|C'A'|}{|CA|}=k.

相似正是几何里「放大缩小」的精确说法——形状（角度、各边之比）一丝不变，只有整体尺寸按 kk 伸缩。第 Ⅳ 公理（SAS 相似公理）把这件事立成公理：两边成同一比例、且夹角相等，两个三角形就相似。

备注

  • 相似比 k=1k=1 就是全等。 全等是相似「不放大」的特例——对应角相等、对应边之比恰为 11，尺寸也一样。
  • 对三角形，等角与成比例彼此蕴含。 一般图形要「角都相等」且「边都成比例」两条都验；但对三角形，由第 Ⅳ 公理可推出：只要对应角相等（其实两组角就够，AA 相似判定），对应边自动成比例——反之亦然。这是三角形特有的便利。
  • 保形不保大小。 相似保持一切「形状量」：角度、各边之比、以及由它们决定的一切（如「是不是直角三角形」）。不保持「尺寸量」：长度按 kk 缩放、面积按 k2k^2 缩放（相似面积比 = k²）。
  • 相似是一种等价关系。 自反、对称、可传递（相似传递）——「形状相同」把所有图形分成一类一类，同类的彼此相似。