圆

依赖：距离 · 长度。属「派生定义」——把「圆」还原为一句关于距离的话：到定点等远的点的全体。

定义

在平面上取定一个点 $O$ 和一个正数 $r$。

所有到 $O$ 的距离恰好等于 $r$ 的点，合起来组成的图形，叫做以 $O$ 为圆心、$r$ 为半径的圆，记作 $\odot O$。$O$ 叫圆心，$r$ 叫半径。

一句话：圆就是「到一个定点等远」这个条件圈出的所有点。看似最「圆满」的图形，底子却极简——只用到「距离」一个概念。圆心管它在哪儿、半径管它多大，剩下的一切（弦、弧、切线、圆周角……）都从这一句往下推。

备注

• 圆是曲线，不含内部。 「圆」严格指那条封闭曲线（到 $O$ 恰好为 $r$ 的点）；到 $O$ 的距离小于 $r$ 的点在圆的内部，大于 $r$ 的在外部。带上内部的整块叫「圆面/圆盘」，是另一个东西。
• 圆心、半径唯一确定圆；反之亦然。 给定 $O$ 与 $r$，圆随之唯一；反过来，一个圆也只有一个圆心、一个半径值——所以「$\odot O$、半径 $r$」这种说法是无歧义的。
• 半径、直径、弦、弧都由它派生。 圆心到圆上一点的距离恒等于 $r$，这正是「半径」；过圆心的最长弦是直径（$=2r$）；圆上两点间的连线是弦、之间的曲线段是弧——它们全是「到圆心等远」这一条的推论。
• 为什么半径要取正数。 $r=0$ 时圆退化成圆心那一个点，$r<0$ 无意义；取 $r>0$ 才得到一条真正的曲线。