两直线平行 ⇒ 同旁内角互补 — 平行 ⇒ 同旁内角互补 · Principia

依赖：平行 ⇒ 同位角相等（平行 ⇒ 同位角相等）与邻补角和等于 180°（邻补角和等于 180°）。

陈述

设两条直线 $\ell_1\parallel\ell_2$ 被第三条直线 $t$ 所截，分别交于 $P\in\ell_1$ 、 $Q\in\ell_2$ 。在 $t$ 的同一侧、由 $\ell_1$ 、 $\ell_2$ 所夹的两个内角称为一对同旁内角（又名"同侧内角"）。结论：每对同旁内角互补，即

\alpha + \beta = 180^\circ.

$同旁内角示意：\ell_1\parallel\ell_2 被 t 截于 P、Q，\alpha、\beta 是 t 同侧、夹在两平行线之间的一对内角，\alpha+\beta=180^\circ。$

证明

策略是把"同位"和"同旁内"这两件事在 $Q$ 处缝在一起：同位角等式来自平行 ⇒ 同位角相等，邻补角等式来自邻补角和等于 180°，两式相加即得。

步骤 1（同位角）：由平行 ⇒ 同位角相等， $\ell_1\parallel\ell_2$ 被 $t$ 所截时同位角相等。设 $P$ 处的某个内角为 $\alpha$ ，则其在 $Q$ 处的同位角 $\alpha'=\alpha$ 。

$Step 1：由 parallel-corresponding-converse，P 处的 \alpha 与 Q 处的同位角 \alpha' 相等（两个角都位于 t 的同一侧、各自所在平行线的同一侧）。$

步骤 2（邻补角）：在 $Q$ 处， $\alpha'$ 与 $t$ 同侧的同旁内角 $\beta$ 共顶点 $Q$ ，分享一条由 $t$ 给出的公共边，另两边是 $\ell_2$ 上从 $Q$ 出发的相反射线——满足邻补角和等于 180° 的前提。故

\alpha' + \beta = 180^\circ.

步骤 3（代入）：把 $\alpha'=\alpha$ 代入：

\alpha + \beta = 180^\circ. \qquad\blacksquare

$Step 2：Q 处的 \alpha' 与 \beta 共享 \ell_2、外侧两条边互为 t 的相反射线，由 linear-pair 得 \alpha'+\beta=180^\circ；代入 \alpha'=\alpha 即得 \alpha+\beta=180^\circ。$

即时推论

同侧外角互补：同侧外角分别是上面 $\alpha$ 、 $\beta$ 的对顶角（由对顶角相等），故同侧外角的和也是 $180^\circ$ 。
判定 ⇔ 性质全员到齐：连同平行 ⇒ 同位角相等（同位角）、平行 ⇒ 内错角相等（内错角），平行线"三对角"的判定与性质至此对称完备：平行 ⇔ 同位角相等 ⇔ 内错角相等 ⇔ 同旁内角互补。
矩形邻角 = 90°：在矩形里两组对边平行，邻角为同旁内角，故邻角和 = $180°$ ；又对角相等（对角相等），即得四角皆 $90°$ 。这是 rectangle-equiv-conditions 中" $(c)\Rightarrow$ 矩形"分支的关键一步。

备注

这条性质的"主线"——同位角等式 + 邻补角等式 + 代入——其实是一切平行性质共用的模板：先在 $\ell_1$ 、 $\ell_2$ 之间架一道"角搬运"的桥（同位 / 内错），再用 $Q$ 处局部的邻补角和等于 180° 把角组合成需要的形式。换内错角作为桥（平行 ⇒ 内错角相等）也能给出同样的结论；选平行 ⇒ 同位角相等是因为它在依赖图里离公理最近，证明链更短。