平行 ⇒ 内错角相等

依赖：平行 ⇒ 同位角相等（B.05，把同位角先抓在手里），以及 对顶角相等（在 $Q$ 处把同位角翻成内错角）。

陈述

设直线 $\ell_1 \parallel \ell_2$，被第三条直线 $t$ 所截：$t$ 与 $\ell_1$ 交于 $P$，与 $\ell_2$ 交于 $Q$。$\ell_1$、$\ell_2$ 之间被 $t$ 切出的两个角，若分别在 $t$ 的两侧，则称这一对为内错角。则两组内错角分别相等。

记 $P$ 处的同位角为 $\alpha$（$\ell_1$ 与 $t$ 在某一指定侧形成的角），$Q$ 处与 $\alpha$ 同侧的同位角为 $\beta$，与 $\beta$ 形成对顶的另一个角为 $\gamma$（即 $Q$ 处与 $\alpha$ 形成内错的那一个）。则

证明

整个证明只是 B.05 + 对顶角 两步合成。

第 1 步（同位角相等）：由 平行 ⇒ 同位角相等，$\alpha = \beta$。

第 2 步（内错与同位互为对顶）：在 $Q$ 处，$\beta$ 与 $\gamma$ 都以 $Q$ 为顶点，它们的两边分别由直线 $\ell_2$ 上从 $Q$ 出发的两条相反射线、以及直线 $t$ 上从 $Q$ 出发的两条相反射线给出——这正是 对顶角 的定义。由 对顶角相等，$\gamma = \beta$。

合起来 $\gamma = \beta = \alpha$。$\blacksquare$

即时推论

• 平行 ⇒ 同旁内角互补（B.07）的另一种走法：由 $\gamma = \alpha$，再加上同旁内角与内错角在 $Q$ 处构成邻补角（邻补角和等于 180°），立刻得到 $\alpha + \beta_{\text{同旁}} = 180^\circ$。
• 三角形内角和 = $180^\circ$ 的核心引理：过三角形一顶点作底边的平行线，本定理是把三个内角"搬"到那条平行线上的唯一工具。
• 构造 ≡ 几何代数化：内错角相等让我们能把 $\ell_1$ 上的角无代价地复制到 $\ell_2$ 上——配合 SSS / SAS 的角等条件，是平行四边形性质、相似三角形 / 平行线分线段成比例（基本比例定理）定理（BPT）等大量证明的入口。

备注

B.05 把同位角抓出来，本定理把它就地翻一面；推到 B.07 只需再补一次邻补角。三个孪生定理（B.05 / B.06 / B.07）共用同一套"角名转换器"，这也是为什么后续证明里它们经常被一起引用。

欧氏《原本》I.29 把"内错角相等"与"同位角相等"合并成一条，并用反证法（假设不等 ⇒ 同旁内角和 $<180^\circ$ ⇒ 第五公设令两线相交 ⇒ 矛盾）。我们把它拆成 B.05 → B.06 → B.07 三层，每层都是直接构造，使得依赖关系单向、无反证。