平行的传递性 — 平行的传递性 · Principia

依赖：过直线外一点存在唯一平行线（Playfair）。

陈述

设 $\ell_1$ 、 $\ell_2$ 、 $\ell_3$ 是平面上的三条直线。若

\ell_1 \parallel \ell_2 \quad\text{且}\quad \ell_2 \parallel \ell_3,

则 $\ell_1 \parallel \ell_3$ 。

这里采用"重合或不相交即平行"的约定——任何一条直线与自身平行。

$平行的传递性：\ell_1 \parallel \ell_2 且 \ell_2 \parallel \ell_3 ⇒ \ell_1 \parallel \ell_3$

证明

反证法。假设 $\ell_1 \not\parallel \ell_3$ 。按平行的定义，这意味着 $\ell_1 \neq \ell_3$ 且二者必须相交，记交点为 $P$ 。

考察过点 $P$ 、平行于 $\ell_2$ 的直线。一方面，已知 $\ell_1 \parallel \ell_2$ ，而 $P\in\ell_1$ ，故 $\ell_1$ 是这样一条直线；另一方面， $\ell_2 \parallel \ell_3$ （平行关系对称），且 $P\in\ell_3$ ，故 $\ell_3$ 也是这样一条直线。

于是过 $P$ 至少存在两条不同的直线 $\ell_1$ 、 $\ell_3$ 都平行于 $\ell_2$ ，与 平行线唯一性 矛盾。所以原假设不成立， $\ell_1 \parallel \ell_3$ 。 $\blacksquare$

$反证：若 \ell_1 与 \ell_3 交于 P，则过 P 同时有 \ell_1、\ell_3 都 \parallel \ell_2——撞上平行线唯一性$

即时推论

平行是等价关系：自反性来自定义（任何直线与自身重合，因此平行于自身），对称性是定义的直接结果，传递性即本定理。把平面上的所有直线按"平行"分类，每一类称为一个方向，于是"方向"成为良定义的概念。
方向稳定于平移：把整张图按某个向量整体平移，每条直线被映到一条与原直线平行的直线（可由后续的"过点作平行线"得到）。结合本定理可知，相互平行的两条直线在平移下仍相互平行——这是后面建立"平行四边形"刚性关系的基础。

备注

证明里用到了平行关系的对称性（ $\ell_2 \parallel \ell_3 \Rightarrow \ell_3 \parallel \ell_2$ ），它直接来自"重合或不相交"的对称定义，无需另立一条定理。

历史上，平行的传递性常被列为"平行线公理"的一个直接推论；在我们的体系里，本质工作交给了 平行线唯一性，本定理只是用反证法把"两条都平行"翻译成"过 $P$ 的两条平行线"，再读一次唯一性即可。