PRINCIPIA · THEOREM

同 / 等圆中：圆心角 / 弧 / 弦 三者两两等价

依赖：量角器公理、SAS 全等判定。

陈述

设 ⊙O\odot O 是给定的圆，半径为 RR；AA、BB、CC、DD 都是 ⊙O\odot O 上的点。考虑下面三件事：

  1. 圆心角相等：∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD；
  2. 弧相等：AB⌢=CD⌢\stackrel{\frown}{AB} = \stackrel{\frown}{CD}（两条同向所张的弧）；
  3. 弦相等：∣AB∣=∣CD∣|AB| = |CD|。

则在同一个圆（或两个等圆）里，这三件事两两等价：任何一个成立，另外两个也成立。形式地：

∠AOB=∠COD    ⟺    AB⌢=CD⌢    ⟺    ∣AB∣=∣CD∣.\angle AOB = \angle COD \;\;\Longleftrightarrow\;\; \stackrel{\frown}{AB} = \stackrel{\frown}{CD} \;\;\Longleftrightarrow\;\; |AB| = |CD|.

同圆中两组等圆心角 / 等弧 / 等弦的两两等价

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