九点圆

依赖：三角形中位线定理（中位线 $\parallel$ 第三边、长 $=$ 半底）、90° ⇒ 直径（直角 $\Rightarrow$ 在以斜边为直径的圆上）、平行四边形判定（一组对边平行且等长 $\Rightarrow$ 平行四边形；矩形 $=$ 平行四边形 $+$ 一直角）。

陈述

设 $\triangle ABC$ 为非退化三角形，$H$ 为其垂心。考察以下九个点：

• 三条边的中点 $M_A, M_B, M_C$（其中 $M_A$ 是 $BC$ 的中点，等等），
• 三条高线的垂足 $H_A, H_B, H_C$（其中 $H_A$ 是从 $A$ 出发的高线在 $BC$ 上的垂足，等等），
• 垂心 $H$ 与三个顶点 $A, B, C$ 的中点 $N_A, N_B, N_C$（其中 $N_A$ 是 $\overline{AH}$ 的中点，等等）。

则这九个点都在同一个圆上——称为 $\triangle ABC$ 的九点圆。

九点圆的圆心 $N$ 是外心 $O$ 与垂心 $H$ 的中点（在 欧拉线 上），其半径恰为外接圆半径的一半 $\tfrac12 R$。