三种变换的复合 = 全等

依赖：垂直平分线 ⇔ 到两端点等距（中垂线 ⇔ 等距）、平移：保距、保角，对应线段平行且相等、旋转：保距、保角，对应点到旋转中心距相等、轴对称：对称轴 ⊥ 平分对应点连线、中心对称：对称中心平分对应点连线（K.01–K.04 四条对应"性质"定理）。

陈述

已知：平面映射 $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 若对任意两点 $P$、$Q$ 都满足 $|T(P)\,T(Q)| = |PQ|$（保持距离），就称 $T$ 为全等变换（保距映射，刚体运动）；记 $\sigma_\ell$ 为关于直线 $\ell$ 的轴对称（反射）。设 $T$ 是任意一个平面全等变换。

求证：$T$ 可表示为不超过 $3$ 次轴对称的复合，即存在直线 $\ell_1,\dots,\ell_k$（$0\le k\le 3$）使

（约定 $k=0$ 时复合为恒等变换 $\mathrm{id}$）。