平移：保距、保角，对应线段平行且相等

依赖：尺子公理、量角器公理、平行四边形判定。

陈述

设 $\mathbf v$ 是平面上的一个固定向量。平移 $T_{\mathbf v}$ 把每点 $P$ 映到 $P'$，使得

那么对平面上任意两点 $A$、$B$，记它们在平移下的像为 $A' = T_{\mathbf v}(A)$、$B' = T_{\mathbf v}(B)$，则：

• 保距：$|A'B'| = |AB|$；
• 平行 + 等长：线段 $AB$ 与 $A'B'$ 平行且等长（共线退化情形约定为"方向相同的两条共线线段"）；
• 保角：对任意三点 $A$、$B$、$C$ 与它们的像 $A'$、$B'$、$C'$， $$\angle A'B'C' = \angle ABC.$$

整体上，$T_{\mathbf v}$ 是一种刚体变换——它把每个图形原封不动地"挪"到另一处，不旋转、不翻转、不伸缩。