PRINCIPIA · THEOREM

轴对称:对称轴 ⊥ 平分对应点连线

依赖:垂直平分线 ⇔ 到两端点等距、SSS 全等判定。

陈述

已知:ℓ\ell 是平面上一条直线。轴对称变换 σℓ\sigma_\ell 把每点 PP 映到 P′=σℓ(P)P' = \sigma_\ell(P),使 ℓ\ell 恰为线段 PP′PP' 的中垂线(这是反射的几何定义)。设 AA、BB、CC 为平面上任意三点,记它们的像为 A′=σℓ(A)A' = \sigma_\ell(A)、B′=σℓ(B)B' = \sigma_\ell(B)、C′=σℓ(C)C' = \sigma_\ell(C)。

求证:σℓ\sigma_\ell 保距、保角,即

∣A′B′∣=∣AB∣,∠A′B′C′=∠ABC.|A'B'| = |AB|, \qquad \angle A'B'C' = \angle ABC.

轴对称示意:竖直对称轴 \ell 把 \triangle ABC 翻成 \triangle A'B'C';三条水平虚线 AA'、BB'、CC' 都被 \ell 垂直平分。

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