Ptolemy 不等式

依赖：AA 相似判定、三边不等式、圆内接四边形对角互补。

陈述

设 $ABCD$ 是平面内任意一个凸四边形（不必内接于一圆），$AC$、$BD$ 是它的两条对角线。则三段乘积之间恒有不等式

并且等号成立当且仅当 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点共圆（即 $ABCD$ 是圆内接四边形）。

把它和 托勒密 放在一起读：那条等式 $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$ 只对圆内接四边形成立；如果再去掉"内接于一圆"这层约束，等号松成不等号 —— 这就是 Ptolemy 不等式。