弧长 / 扇形面积公式

依赖：同 / 等圆中：圆心角 / 弧 / 弦 三者两两等价（圆心角 ⇔ 弦 ⇔ 弧）+ 量角器公理（角度可加）+ 圆周长公式 $C = 2\pi r$、圆面积公式 $S_\circ = \pi r^2$（这两条作为基础公式直接引用，不再单列定理节点）。

陈述

已知：$\odot O$ 半径为 $r$，$\alpha$ 为圆心角（以弧度计量，$\alpha\in[0,\,2\pi]$）。记 $\ell(\alpha)$ 为该圆心角所对弧的弧长，$S(\alpha)$ 为相应扇形（两条半径与这段弧围出的区域）的面积。

求证：