旁心存在 — 一内角平分线与两外角平分线共点

依赖：角平分线 ⇔ 到两边等距（含其逆形式：到一角两边等距 ⇒ 在该角的角平分线上）、外角平分线性质（线上 ⇒ 到对边及一邻边延长线等距）。

陈述

设 $\triangle ABC$ 是非退化三角形。固定一个顶点（比如 $A$），则**$\angle A$ 的内角平分线与$\angle B$、$\angle C$ 的外角平分线交于同一个点 $I_A$；这个点称为 $\triangle ABC$ 关于顶点 $A$ 的旁心**（excenter）。等价地，$I_A$ 到三条直线 $BC$、$AB$、$AC$ 的距离相等：

把这个公共距离记作 $r_A$，则以 $I_A$ 为圆心、$r_A$ 为半径的圆与边 $BC$ 内部、$AB$ 越过 $B$ 的延长线、$AC$ 越过 $C$ 的延长线同时相切——这就是 $\triangle ABC$ 的旁切圆（excircle）$\omega_A$。每个三角形对应三个顶点，故有三个旁心 $I_A$、$I_B$、$I_C$ 与三个旁切圆。