PRINCIPIA · THEOREM

三角函数相似不变

依赖：AA 相似判定。

陈述

设 △ABC\triangle ABC、△A′B′C′\triangle A'B'C' 都是直角三角形，∠C=∠C′=90∘\angle C = \angle C' = 90^\circ，且两个直角三角形的同名锐角相等：

∠A=∠A′=θ.\angle A = \angle A' = \theta.

按"对边 / 邻边 / 斜边"的命名约定，记 a=BCa = BC（∠A\angle A 的对边）、b=CAb = CA（∠A\angle A 的邻边、非斜边）、c=ABc = AB（斜边），a′a'、b′b'、c′c' 同理。则三个比值

ac=a′c′,bc=b′c′,ab=a′b′\frac{a}{c} = \frac{a'}{c'},\qquad \frac{b}{c} = \frac{b'}{c'},\qquad \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}

只取决于锐角 θ\theta，与三角形的大小无关。

三角函数相似不变示意：两个不同尺寸的直角三角形，只要锐角 \theta 相同，三比值 a/c、b/c、a/b 就完全相同。

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