概念库

顶角 $2\alpha$ 的等腰图形里，从顶点引出的"半角 $\alpha$"切下两段折线；把一段绕顶点旋转 $2\alpha$ 拼到另一段所在边的延长上，两段就拼成一条直线段。

两个共顶点的相似（不一定全等）三角形给出旋转相似——以共顶点为中心、转角 $\alpha$、缩放 $k$ 的复合变换。两条"拉手段"满足 $BD/AC = k$，夹角恒为 $\alpha$；动点轨迹经此变换后形状不变（"种瓜得瓜，种豆得豆"）。

求 $PA + k \cdot PB$（$0 < k < 1$）最小值时，取角 $\alpha = \arcsin k$ 作辅助线，把带系数 $k$ 的那段距离转化为一条垂线段，整体拍成"点到直线的距离"。

求 $w_1 \cdot PA + w_2 \cdot PB + w_3 \cdot PC$ 最小时，提公因式 $w_1$ 后在 $C$ 处把 $B$ 做旋转 $\theta$ + 缩放 $k = w_2/w_1$ 的相似变换 $B \to B''$，把 $|PA| + k|PB| + w_3|PC|$ 拼成折线 $A \to P \to P'' \to B''$；旋转角由"权三角形" $(w_1, w_2, w_3)$ 中 $w_3$ 所对的角给出。

利用轴对称把"两点到一直线上动点的距离之和"转化为两定点连线问题。

两个共顶点的等腰三角形，连接两组对应外端（"拉手"），由 SAS 得到一对全等三角形；两条"拉手段"等长、夹角等于共顶角。

把"绕定点旋转角 $\theta$"与"以该点为中心、比例 $k$ 位似"复合，得到的相似变换；能同时吃掉一个旋转角和一个伸缩比，是处理"带权重 + 带夹角"距离最值的核心工具。

一条直线上三个相等的角同侧，相邻两段必构成一对 AA 相似三角形；用对应边比求线段长度。

动点 $P$ 与一条定弦 $AB$ 张固定角（包括 90°）时，$P$ 的轨迹是定圆——把"看不见的圆"画出来后，长度最值化为"圆上动点到定点（或定直线）的距离"。

折线 $A\to E\to F\to B$ 中段 $EF$ 是定长定方向的"桥"，求 $AE + FB$ 最小——把定点 $A$ 沿 $\vec{EF}$ 平移到 $A'$，三点共线时取最小值 $|A'B|$。

平面上到两定点距离之比为常数 k≠1 的点的轨迹是圆；常用于构造"带系数距离最值"的辅助点。

三角形内使三顶点距离之和最小的点；当三个内角均小于 120° 时，费马点处与三顶点连线两两成 120°，并可由 60° 旋转构造法求出最小值。

直线外两定点 $A, B$（同侧）与直线 $\ell$ 上动点 $P$，求 $\angle APB$ 最大值——最优 $P$ 是过 $A, B$ 与 $\ell$ 相切之圆与 $\ell$ 的切点。

平面上任意两点之间，直线段最短；折线长度不小于其端点间直线长度，等号当且仅当所有点共线时成立。

平面内任意一点 $P$ 关于定圆的"圆幂"是一个不变量；过 $P$ 任作弦（或切线、割线），两段距离的乘积恒等于 $|PO|^2 - r^2$ 的绝对值。

研究空间形式与图形性质的数学分支。