隐圆

隐圆——题目里没画的圆，但动点轨迹其实在它上面。识别出它就能把"角约束"转译成"圆约束"，解题路径瞬间清晰。

核心识别

动点 $P$ + 一条定弦 $AB$（两定点）+ $\angle APB$ 取定值 ⇒ $P$ 在某个固定的圆上。

张角 $\angle APB$	轨迹圆
$= 90°$	以 $AB$ 为直径的圆（90° ⇒ 直径 直接给出）
$= \alpha$（任意定角）	以 $AB$ 为弦、半径 $R = \dfrac{AB}{2\sin\alpha}$ 的圆（圆心角等于同弧圆周角的两倍 圆周角定理）
$\alpha$ 锐 / 钝	$P$ 落在弦 $AB$ 同一侧；锐角→大弧侧，钝角→小弧侧

隐圆的两个标准触发器

触发器一 · Thales 触发（$\angle = 90°$）

题目里出现"动点 $P$ 是某个直角三角形的直角顶点 + 该直角的两边端点固定" → $P$ 在以斜边为直径的圆上。

证明走 90° ⇒ 直径——直角三角形斜边中线 = 半斜边（直角斜边中线 = 斜边/2），$P$ 到斜边中点的距离恒为定值，故 $P$ 在以中点为圆心、半斜边为半径的圆上。

触发器二 · 圆周角触发（$\angle = \alpha$ 定）

题目里出现"动点 $P$ 看一条定弦 $AB$ 的张角为定值 $\alpha$" → $P$ 在以 $AB$ 为弦、半径 $R = AB/(2\sin\alpha)$ 的圆上。

证明走 同弧所对圆周角相等 / 直径所对为直角 的逆向——同弧上的圆周角相等；反之，若张同一弦的角相同则同弧。

特殊角对照：

$\alpha$	$R$
$30°$	$R = AB$
$45°$	$R = AB / \sqrt 2$
$60°$	$R = AB / \sqrt 3$
$90°$	$R = AB / 2$（退化为 Thales）
$120°$	$R = AB / \sqrt 3$
$135°$	$R = AB / \sqrt 2$
$150°$	$R = AB$

用法（识别 → 画圆 → 最值）

隐圆通常出现在两步链里：

1. 第一步：把"角约束"识别为"轨迹是圆" ——画出隐圆 $\Gamma$ 与圆心 $O$、半径 $R$；

2. 第二步：把"动点 $P$ 到第三点 $X$（或直线 $\ell$）的距离最值"在 $\Gamma$ 上读出来：

   • $X$ 是定点：$|PX|_{\max} = |OX| + R$、$|PX|_{\min} = \big||OX| - R\big|$（取等于三点 $X, O, P$ 共线）
   • $\ell$ 是定直线：$d(P, \ell)_{\max} = d(O, \ell) + R$、$d(P, \ell)_{\min} = \big|d(O, \ell) - R\big|$（取等于过 $O$ 的垂线与圆的交点）

何时用 / 识别口诀

• "动点 + 定弦 + 张角是给定常数" ⇒ 立刻画隐圆
• "动点是某直角三角形的直角顶点 + 直角两边端点固定" ⇒ 隐圆（Thales 版）
• 复合识别：题目把张角伪装成"两段定长 + 一条定边 + 余弦定理给出夹角" → 算出夹角再走本套路
• 反向用法：已知动点在某圆上、要证某个角是定值 → 同弧圆周角相等直接给出（参 同弧所对圆周角相等 / 直径所对为直角）

陷阱

• 同侧 / 异侧分支：同一对定弦 + 同一张角对应两段弧（弦的两侧各一段），动点究竟在哪一侧由题目其他条件锁死；忘记区分会得到对称解中的"伪最值"。
• 张角范围：$\alpha$ 锐时大弧侧、钝时小弧侧；张角恰为 $90°$ 退化到直径 $AB$ 上整圆（除 $A, B$ 两端点）。
• 判别张角为定值：题目不会明写"张角为定值"，常见伪装：固定的边长比 + 余弦定理、内置图形（正方形顶点、矩形顶点处的直角）、辅助线后的等腰底角。
• 半径公式只在张角不变时成立：若张角随动点变化（如 $\angle APB$ 随 $P$ 改变），则轨迹不是圆——别误用。

应用题

待补充。

关联

• 直径所对 = 90° / 90° ⇒ 直径 —— $\alpha = 90°$ 的标准触发
• 圆心角等于同弧圆周角的两倍 / 同弧所对圆周角相等 / 直径所对为直角 —— 一般 $\alpha$ 的圆周角依据（半径公式 + 同弧角相等）
• 直角斜边中线 = 斜边/2 —— Thales 版的等价说法
• [[miller-theorem]] —— 隐圆的极值应用（最大视角）
• 瓜豆原理（旋转相似） —— 主动点动 → 从动点也在隐圆上的"轨迹转移"型隐圆