瓜豆原理（旋转相似）

何时用

• 两个共顶点的三角形，腰长不等——比 [[hand-in-hand]] 少了"等腰"条件
• 题面"绕定点 $O$ 旋转 $\alpha$ 同时缩放 $k$ 倍"——这是旋转相似的典型语言
• 动点 $Q$ 由定点 $O$ 经"旋转 + 缩放"得出动点 $P$，求 $P$ 的轨迹（与 $Q$ 同形）
• 半角模型在非等腰三角形上的推广（[[half-angle]] 要求 $AB = AD$；不等腰时全等退化为相似）
• "K 型相似"（[[one-line-three-equal-angles]]）的旋转视角

核心招法

共顶点 + 共顶角 + 邻边比相同 = 一对相似的"手"。 旋转角 $=$ 共顶角 $\alpha$；缩放比 $k =$ 邻边长比；动点 $Q$ 的轨迹形状决定 $P$ 的轨迹形状（"种瓜得瓜，种豆得豆"）。

构造步骤

设 $\triangle OAB \sim \triangle OCD$（共顶点 $O$，$\angle AOB = \angle COD = \alpha$，$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}$），记缩放比 $k = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OD}{OB}$：

1. 共角加减：$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \angle BOC + \angle COD = \angle BOD$
2. 拆比例：由 $\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}$ 得 $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$（"内项外项互换"）
3. SAS 相似：$\triangle OAC \sim \triangle OBD$（夹公共边比 + 夹角相等），相似比 $\dfrac{OB}{OA}$
4. 读结论：
   • 拉手段比：$\dfrac{BD}{AC} = \dfrac{OB}{OA}$（不再等长，但等比）
   • 拉手段夹角：$BD$ 与 $AC$ 的夹角 $= \alpha$（与共顶角相同——这一点和 [[hand-in-hand]] 一致）

为什么对

旋转相似是"以 $O$ 为中心、转角 $\alpha$、比 $k$"的复合变换：旋转 + 位似的合成。它把 $A \to C$，同时把 $B \to D$。变换保持：

• 角不变：任意两条线段的夹角在变换前后保持
• 比不变：任意两条线段长度之比在变换前后保持

由复合作用知 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 的夹角恒为 $\alpha$、长度比恒为 $k$。

这就是"瓜豆原理"的几何本质：动点 $Q$ 的轨迹经一次旋转相似变换后，得到的 $P$ 的轨迹与 $Q$ 的轨迹形状相同——"种瓜得瓜，种豆得豆"。具体地：

• $Q$ 在直线 $\ell$ 上 $\Rightarrow$ $P$ 在直线 $\ell'$ 上（$\ell'$ 是 $\ell$ 经旋转相似得到的像）
• $Q$ 在圆 $\odot M$ 上 $\Rightarrow$ $P$ 在圆 $\odot M'$ 上（半径乘 $k$，圆心是 $M$ 的像）

典型例题

• 直角三角形 $\triangle OAB$（$\angle O = 90°$）与 $\triangle OCD$（$\angle O = 90°$）共顶点 $O$，$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}$，求证 $AC \perp BD$ 且 $\dfrac{BD}{AC} = \dfrac{OB}{OA}$（共顶角 $90°$ 的特例）
• 非等腰半角变体：顶角 $2\alpha$ 的非等腰三角形（$AB \neq AD$），$\angle EAF = \alpha$（$E \in BC$、$F \in CD$），$EF$ 与 $BE + DF$ 的关系不再是相等，而是带相似比的加权等式

• 动点轨迹题：$Q$ 在直线 $\ell$ 上动，$P$ 由 $Q$ 绕定点 $O$ 旋转 $60°$ 缩放 $\dfrac{1}{2}$ 得到，求 $P$ 的轨迹（结论：另一条直线 $\ell'$）

变式 / 推广

• 退化为全等（$k = 1$）：相似比为 $1$，旋转相似退化为"纯旋转"——即 [[hand-in-hand]] 模型；夹角公式 $\alpha$ 不变
• 退化为位似（$\alpha = 0$）：旋转角为零，纯缩放——退化为以 $O$ 为位似中心的位似变换，对应点连线共点 $O$
• 半角模型的非等腰版：[[half-angle]] 的"两段折线拼成直线段"在等腰下成立；不等腰时拼成的不是直线，而是带相似比的折线，要用本模型分析
• 自动找旋转中心：给定两条对应线段 $AB \to CD$，旋转相似的中心 $O$ 由 $\triangle OAC$、$\triangle OBD$ 必须同时相似的几何条件唯一确定（"四点共圆 + 直线交点"作图法）
• 轨迹原理（"种瓜得瓜"）：这是平面动点最值题"轨迹分析"的几何基础——本质上是"线性变换保形"的初中几何说法