三角不等式 · MathAnime

平面上任意两点之间，直线段最短；折线长度不小于其端点间直线长度，等号当且仅当所有点共线时成立。

三角不等式——动点最值问题的核心几何事实。

陈述

设 $A, B$ 为平面上两定点，对任意点 $P$ 有：

$AP + PB \geq AB$

等号当且仅当 $P$ 在线段 $AB$ 上时成立。

$两点之间，折线退化为直线段：min 时 P \in AB$

更一般地，对折线 $A \to P_1 \to P_2 \to \cdots \to P_n \to B$ ：

$AP_1 + P_1P_2 + \cdots + P_nB \geq AB$

等号当且仅当所有点按顺序共线。

n 段折线 ≥ 直线段 AB，等号当所有点按顺序共线

这条看似平凡的不等式是大量"动点最值问题"的核心：通过几何变换（翻折、旋转、相似）把目标转化为某条折线的长度，再用本不等式把折线"压"成直线段，即得最值。

下游模型：

三点共线时折线退化为直线