阿波罗尼斯圆

theorem

平面上到两定点距离之比为常数 k≠1 的点的轨迹是圆；常用于构造"带系数距离最值"的辅助点。

阿波罗尼斯圆（阿氏圆）——把"带系数距离"化为"等系数距离"的相似工具。

通用公式

min⁡( PA+k⋅PB ),0<k<1\min\big(\, PA + k \cdot PB \,\big), \quad 0 < k < 1

经典模型

  • 动点 PP：在圆 ⊙C\odot C（半径 rr）上
  • 定点 AA：圆外任意位置
  • 定点 BB：圆外，且与圆心 CC 不重合
  • 关键约束：k=rCBk = \dfrac{r}{CB}（不满足时需先做相似缩放调整为此关系，或本题不属于阿氏圆模型）

圆 ⊙C 上动点 P（沿圆周滑动）+ 圆外定点 A、B；关键约束 k = r/CB

构造与证明

  1. 在射线 CBCB 上取辅助点 B′B'，使

    CB′=r2CB⇔CB′⋅CB=r2=CP2CB' = \dfrac{r^2}{CB} \quad\Leftrightarrow\quad CB' \cdot CB = r^2 = CP^2

    B' 的构造：在射线 CB 上取 CB' = r²/CB，等价于 CB·CB' = CP²

  2. 由 CB′CP=CPCB=k\dfrac{CB'}{CP} = \dfrac{CP}{CB} = k 与公共角 ∠BCP\angle BCP，得

    △CPB′∼△CBP(SAS)\triangle CPB' \sim \triangle CBP \quad (\text{SAS})

    △CPB' ~ △CBP 的 SAS 相似：CB'/CP = CP/CB = k，公共角 ∠BCP

  3. 由相似比 PB′PB=k\dfrac{PB'}{PB} = k，故

    PB′=k⋅PBPB' = k \cdot PB

    对**圆上所有点 PP**都成立——这是关键。

  4. 于是 PA+k⋅PB=PA+PB′≥∣AB′∣PA + k \cdot PB = PA + PB' \geq |AB'|（[[triangle-inequality]]），等号当 A,P,B′A, P, B' 共线、PP 落在 AA 与 B′B' 之间时成立。

    A、P、B' 共线时 PA + k·PB = |AB'| 取到最小值

阿氏圆构造：⊙C 上 P、圆外 A、辅助点 B'（CB·CB'=r²）让 PB' = k·PB

答案

min⁡( PA+k⋅PB )=∣AB′∣\min\big(\, PA + k \cdot PB \,\big) = |AB'|

其中 ∣AB′∣|AB'| 用 △ACB′\triangle ACB' 的几何关系直接算出。

应用题

  • [[0003-apollonius-circle]] —— 直角三角形 + 圆的标准题