将军饮马（轴对称求最值）

轴对称最短路径（将军饮马）——直线上动点的"等系数两段距离和"标准模型。用 $A$ 关于 $\ell$ 的对称点 $A'$ 把折线拍直成线段 $|A'B|$。

通用公式

$\min_{P \in \ell}\,\big(\, PA + PB \,\big)$

经典模型

• 动点 $P$：在直线 $\ell$ 上
• 定点 $A, B$：$\ell$ 同侧的两定点
• 关键约束：两段权重都为 $1$（带系数请走 胡不归（异速最值，sin 倾角法））；异侧情形直接连 $AB$ 与 $\ell$ 的交点即可，无需翻折（见下方"变式 / 推广"）

何时用

• 一条直线（河 / 路 / 镜面）上有动点 $P$，要最小化 $PA + PB$（$A, B$ 是两定点）
• 一般化：动点和两段距离的和、或绕一组定点的"折线"长度
• 题面常含"将军饮马""光路""镜像反射""一条河取水后送到 B"

核心招法

同侧化异侧——把 $A$ 关于 $\ell$ 翻一下。 折线就拍直成 $|A'B|$。

构造步骤

平面上直线 $\ell$ 同侧两定点 $A, B$，$P \in \ell$ 动点：

1. 作对称点：取 $A$ 关于 $\ell$ 的对称点 $A'$（即 $\ell$ 是 $AA'$ 的中垂线）。

   

2. 换距离：对任意 $P \in \ell$ 有 $PA = PA'$，故 $PA + PB = PA' + PB$。

3. 拍直：由 [[triangle-inequality]]，$PA' + PB \geq |A'B|$，等号当 $A', P, B$ 三点共线时成立。

4. 定位 $P$：$P$ 即 $A'B$ 与 $\ell$ 的交点。最小值 $= |A'B|$。

为什么对

轴对称是一个保距等距变换（反射）：$\ell$ 上任一点到 $A$ 的距离 = 到 $A'$ 的距离。所以"动点 $P$ 到 $A$"这条不可控的距离，可以无损地换成"动点 $P$ 到 $A'$"。换完之后两段都从 $P$ 出发，自然适用三角形不等式 / 折线 $\geq$ 直线段。

典型例题

• [[0001-shortest-path]] —— 将军饮马标准题
• 光从 $A$ 出发经镜面 $\ell$ 反射到 $B$，求最短光路（费马原理 = 将军饮马）

变式 / 推广

• 异侧情形：$A, B$ 在 $\ell$ 异侧，直接连 $AB$ 与 $\ell$ 的交点即最优——无需翻折。

• 两条直线 + 一个动点：一条 $\ell_1$ 上动点 $P$、$\ell_2$ 上动点 $Q$，求 $AP + PQ + QB$ 最小——把 $A$ 关于 $\ell_1$ 翻、$B$ 关于 $\ell_2$ 翻，再连直线。
• 一条直线 + 多个动点：连续翻折"展开"路径成一条直线段。
• 加权变体：当 $w_1 \cdot PA + w_2 \cdot PB$（系数不等）时，反射不再适用，转 胡不归（异速最值，sin 倾角法） / 加权费马点（旋转 + 缩放通法）。