胡不归（异速最值，sin 倾角法）

胡不归——直线上动点的"带系数距离和"标准模型。用过定点 $B$ 倾斜 $\arcsin k$ 的辅助直线把 $k \cdot PB$ 换成垂线段，再用"折线 $\geq$ 点到直线距离"收尾。

通用公式

$\min_{P \in \ell}\,\big(\, PA + k \cdot PB \,\big), \quad 0 < k < 1$

经典模型

• 动点 $P$：在直线 $\ell$ 上
• 定点 $A$：$\ell$ 一侧的任意位置
• 定点 $B$：在 $\ell$ 上（或 $B$ 在 $\ell$ 上的投影方向已定）
• 关键约束：$k \in (0, 1)$（若 $k > 1$，改成 $\dfrac{1}{k}\cdot PA + PB$，对 $PA$ 那段做辅助线）

何时用

• 求 $PA + k \cdot PB$ 的最小值，其中 $k \in (0, 1)$，$P$ 是某条直线 $\ell$ 上的动点
• 题面常含"两段路速度不同""沙地 vs 公路""光在两介质中"——本质就是把时间最小化转成 $\sum (\text{距离} / \text{速度})$
• 系数 $k$ 是题给"速度比"或"折扣比"——故事化的版本叫"胡不归"

核心招法

令 $\sin\alpha = k$，过定点作 $\alpha$ 倾斜的辅助线——把 $k \cdot PB$ 换成一条垂线段，整体拍成"$A$ 到这条辅助线的距离"。

构造步骤

设 $\ell$ 是动点 $P$ 所在的直线，$A$ 是 $\ell$ 一侧的定点，$B$ 是 $\ell$ 上的定点（或 $B$ 在 $\ell$ 上的投影方向已定），求 $\min_{P \in \ell} (PA + k \cdot PB)$，$k \in (0, 1)$：

1. 定倾角：取 $\alpha = \arcsin k$（即 $\sin\alpha = k$）。

2. 作辅助线：过 $B$ 作直线 $m$，与 $\ell$ 夹角 $\alpha$，选与 $A$ 同侧那条。

   

3. 垂线换段：对任意 $P \in \ell$，过 $P$ 作 $m$ 的垂线，垂足 $H$。则 $PH = PB \sin\alpha = k \cdot PB$。

   

4. 拍成折线：$PA + k \cdot PB = PA + PH \geq d(A, m)$（点到直线的距离，是 $A$ 到 $m$ 的垂线段）。

5. 等号位置：当 $A, P, H$ 共线且 $AH \perp m$ 时取等——即 $P$ 是 $A$ 到 $m$ 的垂线段与 $\ell$ 的交点。最小值 $= d(A, m)$。

为什么对

带系数 $k$ 的那段距离不能直接走"反射"老路（将军饮马（轴对称求最值） 只对 $k = 1$ 有效）。但把"$P$ 到 $B$ 的距离"乘以 $\sin\alpha$ 之后，恰好等于"$P$ 到一条经过 $B$、倾斜 $\alpha$ 的直线 $m$ 的距离"——这把权重 $k$ 摊到了几何里。换完后，剩下的就是"折线 $\geq$ 直线段（点到直线距离）"的常识。

典型例题

• 在 $\triangle ABC$ 中 $\angle B = 30°$，$D$ 在 $BC$ 上动，求 $AD + \tfrac{1}{2} BD$ 最小（取 $\sin\alpha = \tfrac{1}{2}$，$\alpha = 30°$，刚好和 $\angle B$ 重合，辅助线即 $AB$ 所在直线）
• 沙地公路问题：从 $A$ 出发，沙地速度 $v_1$、公路速度 $v_2$（$v_1 < v_2$），公路是直线 $\ell$，目标点 $B$ 在公路上，求最短时间。等价于最小化 $PA + (v_1 / v_2) \cdot PB$

变式 / 推广

• $k > 1$ 情形：$\sin\alpha = k$ 无解。这时改成 $\dfrac{1}{k} \cdot PA + PB$，再套同样套路（系数 $\dfrac{1}{k} < 1$ 对 $PA$ 那段做辅助线）。

• 三段加权（$w_1 \cdot PA + w_2 \cdot PB + w_3 \cdot PC$）：单一辅助线不够，转 加权费马点（旋转 + 缩放通法）——旋转 + 缩放。

• 物理含义：$\sin\alpha = v_1/v_2$ 即斯涅尔折射定律；胡不归本质上就是费马原理在两介质边界上的 $\arg\min$ 几何作图。