加权费马点（旋转 + 缩放通法）

加权费马点——三段距离各自带权时的费马点推广。用旋转相似把三段拼成一条折线，再用三角不等式收尾。

通用公式

$\min_P\,\big(\, w_1 \cdot |PA| + w_2 \cdot |PB| + w_3 \cdot |PC| \,\big), \quad w_1, w_2, w_3 > 0$

记号：$w_1$ 对 $A$、$w_2$ 对 $B$、$w_3$ 对 $C$（与下文旋转构造保持一致）。

经典模型

• 动点 $P$：平面上任意一点
• 定点 $A, B, C$：三个定点，分别对应正权重 $w_1, w_2, w_3$
• 关键约束：权三角形 $(w_1, w_2, w_3)$ 必须满足三角不等式 $|w_i - w_j| < w_k < w_i + w_j$（旋转角 $\theta$ 才存在）；否则最优 $P$ 落在某顶点（边界解）
• 等权特例：$w_1 = w_2 = w_3$ 退化为 费马点

何时用

• 求 $f(P) = w_1 \cdot PA + w_2 \cdot PB + w_3 \cdot PC$ 的最小值（三段距离都带不同权重）
• 等权特例 $w_1 = w_2 = w_3$ 退化为 费马点（经典费马-托里拆利点）
• 物理 / 工程语境：三个城市以不同流量需要建一个公共转运点；带速度系数的"将军送水"加强版

核心招法

在权重 $w_3$ 那个顶点（即 $C$）做旋转 + 缩放——三段拼成一条折线，最短折线 = 直线段给出最小值。

旋转角 $\theta$ = 边长为 $(w_1, w_2, w_3)$ 的"权三角形"中 $w_3$ 所对的那个角。

构造步骤

设三个定点 $A, B, C$ 与对应权重 $w_1$（对 $A$）、$w_2$（对 $B$）、$w_3$（对 $C$）。先把 $f(P)$ 提公因式 $w_1$，归一化取 $w_1 = 1$，记 $k = w_2 / w_1 = w_2$（这样下文折线长度直接 $= f(P)$，$|PA|$ 不再带系数，$|PB|$、$|PC|$ 都被旋转 + 缩放"吃干净"）。

1. 算旋转角：$\cos\theta = \dfrac{1 + k^2 - w_3^2}{2k}$（即 $1 + k^2 - 2k\cos\theta = w_3^2$，余弦定理形式）。这里 $\theta$ 的取法不是凭空——详见 "为什么对" 一节：要让 $|P''P| = w_3 \cdot |PC|$，对 $\triangle PCP''$ 用余弦定理反解即得此式。

   

2. 做旋转相似（以 $C$ 为中心，分两步看更清楚）：

   • 2a 旋转 $\theta$：$B \to B'$、$P \to P'$。性质 $|CB'| = |CB|$、$\angle BCB' = \theta$、$|B'P'| = |BP|$（旋转保长）
   • 2b 缩放 $k$：$B' \to B''$、$P' \to P''$。性质 $|CB''| = k \cdot |CB|$、$|B''P''| = k \cdot |BP|$（等比放大）

   合起来记 $B''$、$P''$ 为旋转相似像（满足 $|CB''| = k \cdot |CB|$、$\angle BCB'' = \theta$）。

   

3. 三段恰好凑成折线 $A \to P \to P'' \to B''$：

   • $|AP| = w_1 \cdot |PA|$（归一化 $w_1 = 1$，第一段直接就是原 $|PA|$）
   • $|PP''| = w_3 \cdot |PC|$（对 $\triangle PCP''$ 余弦定理：$|PP''| = |CP|\sqrt{1 + k^2 - 2k\cos\theta} = w_3 \cdot |CP|$）
   • $|P''B''| = k \cdot |PB| = w_2 \cdot |PB|$（缩放比 $k = w_2$）

   于是折线长度 = $|AP| + |PP''| + |P''B''| = f(P)$ 直接相等。

4. 拍直：折线最短 $= |AB''|$，等号当 $A, P, P'', B''$ 四点共线时成立。

5. 定位 $P$：$P$ 是直线 $AB''$ 与圆弧 / 直线交点（具体由共线条件解出）。

最值公式

$\theta$ 由权 $(w_1, w_2, w_3)$ 直接给出，故最小值 $|AB''|$ 也能绕开 $P$ 直接算——把 $\triangle ACB''$ 的余弦定理与权三角形的余弦定理 $2 w_1 w_2 \cos\theta = w_1^2 + w_2^2 - w_3^2$ 拼起来化简，得到只含"权 $+ \triangle ABC$"的封闭式：

$$\bigl(\min f\bigr)^2 = \tfrac{1}{2}\!\left[(w_2^2+w_3^2-w_1^2)\,a^2 + (w_1^2+w_3^2-w_2^2)\,b^2 + (w_1^2+w_2^2-w_3^2)\,c^2\right] + 8\,S_{\triangle}\,S_w.$$

记号：$a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|$（标准对边记法——$a$ 对顶点 $A$，余类推）；$S_{\triangle}$ 是 $\triangle ABC$ 面积；$S_w$ 是权三角形 $(w_1, w_2, w_3)$ 面积（Heron：$16\,S_w^2 = 2(w_1^2 w_2^2 + w_2^2 w_3^2 + w_3^2 w_1^2) - (w_1^4 + w_2^4 + w_3^4)$）。三个权系数都形如"另两边权方之和 $-$ 本边对应权的平方"——恰好等于权三角形里"$2 w_j w_k \cos(\text{该顶点角})$"。

特例验证（费马点 $w_1 = w_2 = w_3 = 1$）：权系数皆为 $1$，$S_w = \sqrt{3}/4$，公式给出

$$(\min f)^2 = \tfrac{a^2 + b^2 + c^2}{2} + 2\sqrt{3}\,S_{\triangle},$$

即经典费马-托里拆利点最值公式。

适用条件：权三角形 $(w_1, w_2, w_3)$ 满足三角不等式（$\theta$ 存在），且最优 $P$ 落在 $\triangle ABC$ 内部；否则最值在某顶点取得（边界解），须直接比较三个顶点处 $f$ 的值。

为什么对

旋转保角、缩放保比例，旋转相似把 $\triangle BCP$ 变成 $\triangle B''CP''$，使 $|B''P''| = k \cdot |BP|$，并把"$P$ 到 $C$"那段距离换成"$P$ 到 $P''$"——后者长度恰好等于 $w_3 \cdot |PC|$（由余弦定理选 $\theta$）。这样一来三段不同权的距离被翻译成同一根折线上的三个相邻段（$|AP|$ 因 $w_1 = 1$ 留在原位）；剩下的就是"折线 $\geq$ 直线段"。

余弦定理回顾：在任意 $\triangle XYZ$ 中，记三边 $a = |YZ|, b = |XZ|, c = |XY|$，则与边 $c$ 所对的角 $\angle Z$ 满足

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle Z.$$

第 1 步公式的来历：把权三角形 $(w_1, w_2, w_3)$ 三边代入（归一化 $w_1 = 1$ 后即 $(1, k, w_3)$，其中 $k = w_2$），$w_3$ 所对的角 $= \theta$，于是

$$w_3^2 = 1 + k^2 - 2k\cos\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \frac{1 + k^2 - w_3^2}{2k}.$$

第 3 步 $|P''P| = w_3 \cdot |CP|$ 同理：$\triangle PCP''$ 中 $|CP|$ 与 $|CP''| = k \cdot |CP|$ 是从 $C$ 出发的两边，夹角 $\angle PCP'' = \theta$。再用一次余弦定理：

$$|P''P|^2 = |CP|^2 + (k|CP|)^2 - 2 \cdot |CP| \cdot k|CP| \cdot \cos\theta = |CP|^2 (1 + k^2 - 2k\cos\theta) = |CP|^2 \cdot w_3^2.$$

即 $|P''P| = w_3 \cdot |CP|$ ——正是为了这一等式才那样选 $\theta$。

几何直觉："权三角形 $(w_1, w_2, w_3)$ 里 $w_3$ 对哪个角，就转多少度。" $(1, 1, 1) \Rightarrow \theta = 60°$（经典费马点） $(1, 1, \sqrt{2}) \Rightarrow \theta = 90°$（等腰直角权三角形） $(3, 4, 5) \Rightarrow \theta = 90°$（直角对斜边）

典型例题

• 经典费马点：$w_1 = w_2 = w_3 = 1$，旋转 $60°$ 拼正三角形——最优 $P$ 即三视角均 $120°$ 之点
• 权 $(1, 1, \sqrt{2})$：求 $|PA| + |PB| + \sqrt{2} \cdot |PC|$ 的最小值——提公因式后 $w_1 = 1$，旋转相似把 $B$ 拍到 $B''$（$\theta = 90°, k = 1$），问题化为 $|AB''|$
• 权 $(3, 4, 5)$：旋转 $90°$，权三角形是 $3{-}4{-}5$ 直角三角形

变式 / 推广

• 三角形权特殊化：当 $(w_1, w_2, w_3)$ 是 $30{-}60{-}90$ / $45{-}45{-}90$ 等"特殊角"权时，旋转角天然好算，折线作图也容易
• 退化情况：若权三角形不等式 $|w_1 - w_2| < w_3 < w_1 + w_2$ 不成立，最小值在某个顶点取得（即"边界解"），旋转相似不再适用
• 降维：单段加权变体见 胡不归（异速最值，sin 倾角法）；两段等权变体见 将军饮马（轴对称求最值）
• 命名说明：这个引理在中文奥数圈称"加权费马点旋转法"；英文文献里常称 weighted rotation lemma 或归在 Tellier's construction / spiral similarity 名下。它不是命名定理，而是带权 Fermat-Torricelli 问题的标准 lemma——使用时建议现场用余弦定理推一遍，不要直接引用。