费马点

theorem

三角形内使三顶点距离之和最小的点；当三个内角均小于 120° 时，费马点处与三顶点连线两两成 120°，并可由 60° 旋转构造法求出最小值。

费马点（Fermat Point）——三角形内使三顶点距离之和最小的点。

通用公式

min⁡P ( PA+PB+PC )\min_P\,\big(\, PA + PB + PC \,\big)

经典模型

  • 动点 PP：平面上任意一点（含 △ABC\triangle ABC 内部及边界）
  • 定点 A,B,CA, B, C：△ABC\triangle ABC 的三个顶点
  • 关键约束：三段权重都为 11（带权重请走 加权费马点（旋转 + 缩放通法））；当某内角 ≥120°\geq 120° 时最优点退化为该顶点

△ABC 内动点 P，最小化 PA + PB + PC（题目原型）

结论

条件 最优 PP 三角函数
所有内角 <120°< 120° 费马点（在三角形内部） ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120°
某角 ≥120°\geq 120° 该顶点 —

某内角 ≥ 120° 退化：最优 P = 该钝角顶点

60° 旋转构造法（最常用解法）

以 △ABC\triangle ABC 任一边（如 BCBC）为边，向 △ABC\triangle ABC 外侧作等边 △BCA′\triangle BCA'。则：

min⁡(PA+PB+PC)=∣AA′∣\min(PA + PB + PC) = |AA'|

证明思路：将 △BPC\triangle BPC 绕 BB 顺时针旋转 60°60°，P→P′P \to P'，C→A′C \to A'。则：

  • △BPP′\triangle BPP' 是等边三角形（BP=BP′BP = BP' 且夹角 60°60°）⇒ PP′=PBPP' = PB
  • 旋转保持长度 ⇒ P′A′=PCP'A' = PC
  • 因此 PA+PB+PC=PA+PP′+P′A′PA + PB + PC = PA + PP' + P'A'

△BPC 绕 B 顺时针 60° 旋转：P → P'、C → A'，△BPP' 是等边三角形

右侧是从 AA 到 A′A' 的折线长度。由 [[triangle-inequality]]：

PA+PP′+P′A′≥∣AA′∣PA + PP' + P'A' \geq |AA'|

等号当 A,P,P′,A′A, P, P', A' 共线时成立——此时 PP 即为费马点。

等号位置：A、P、P'、A' 四点共线 + 三个 120° 视角

费马点的 60° 旋转构造：外作等边 △BCA'，min = |AA'|

应用题

  • [[0002-fermat-point]] —— 等腰锐角三角形的标准题