造桥选址 · MathAnime

折线

A\to E\to F\to B

中段

EF

是定长定方向的"桥"，求

AE + FB

最小——把定点

A

沿

\vec{EF}

平移到

A'

，三点共线时取最小值

|A'B|

。

造桥选址——折线和最值，中段是"定长定方向的桥"。用平移把桥两侧的两条变线段拼成一段。

通用公式

$\min\big(\, AE + EF + FB \,\big), \quad |EF| = d \text{（定值）},\; \vec{EF} \text{（定向）}$

由于 $EF$ 长度固定为常数 $d$ ，等价于求

$\min\big(\, AE + FB \,\big).$

直观：河流（两岸 $\ell_1, \ell_2$ 平行）把 $A$ 、 $B$ 隔开，要在两岸之间造一座垂直于河岸的桥 $EF$ ，问把桥造在哪段位置使从 $A$ 到 $B$ 总路程最短。

$两平行岸 \ell_1, \ell_2 + 两侧定点 A, B + 定长定方向桥 EF（动点 E, F 沿两岸同步滑动）；待最小化的量为 AE + EF + FB$

把定点 $A$ 沿 $\vec{EF}$ 方向平移定长 $d = |EF|$ 得到点 $A'$ 。则

$\min\big(\, AE + FB \,\big) \;=\; |A'B|, \qquad \min\big(\, AE + EF + FB \,\big) \;=\; |A'B| + d,$

等号当 $A', F, B$ 共线时取到。此时 $E$ 由 $A'F$ 反平移 $\vec{FE} = -\vec{EF}$ 倒推。

结论与"河岸位置"（ $\ell_1, \ell_2$ 在哪里）无关，只取决于 $A, B$ 与桥的定方向定长。

$造桥选址收尾：A 沿 \vec{EF} 平移到 A'，AEFA' 是平行四边形 ⇒ AE = A'F；A', F, B 共线时和最小$

第一步：平移。 把 $A$ 沿 $\vec{EF}$ 平移定长 $d$ 得 $A'$ 。则四边形 $AEFA'$ 满足

$\vec{AA'} = \vec{EF},$

故 $AA' \parallel EF$ 、 $|AA'| = |EF|$ ⇒ 它是平行四边形（平行四边形判定）。由平行四边形性质：

$AE \;=\; A'F.$

第二步：三角不等式。 折线 $A'\to F\to B$ 的长度

$A'F + FB \;\geq\; |A'B|,$

由 [[triangle-inequality]] 直接给出，等号当 $A', F, B$ 共线（ $F$ 在线段 $A'B$ 上）时成立。

第三步：拼起来。

$AE + FB \;=\; A'F + FB \;\geq\; |A'B|.$

加上常数 $EF = d$ ，即得 $AE + EF + FB \geq |A'B| + d$ 。 $\qquad\blacksquare$

模型	中段	工具
将军饮马	中段是点（同一动点 $P$ 出现在两段里）	反射（轴对称）
造桥选址	中段是定长定方向的桥 $EF$	平移

两者都用"刚体变换 + 三角不等式"，但变换种类不同：反射改"折线方向"、平移改"端点位置"。

待补充。