旋转相似

旋转相似（Spiral Similarity）——绕定点旋转 + 同心位似的复合，是"带权距离和"题的瑞士军刀。

定义

平面上一个旋转相似变换由三个参数决定：

• 中心 $M$（一个定点）
• 旋转角 $\theta$
• 位似比 $k > 0$

它把任意点 $P$ 送到 $P'$，使得

$MP' = k \cdot MP, \qquad \angle PMP' = \theta.$

等价地，把 旋转：保距、保角，对应点到旋转中心距相等（绕 $M$ 旋 $\theta$）与 位似（以 $M$ 为中心、比 $k$）复合即可。先旋后位似与先位似后旋的结果相同——两者绕同一中心可交换。

关键性质

• 保形：旋转相似是一个相似变换，保持所有角度、把所有距离按比例 $k$ 缩放。
• 唯一性：给定两个点 $P, P'$ 和两个像 $Q, Q'$（且 $PQ \ne 0$），存在唯一的旋转相似把 $P\mapsto P'$、$Q\mapsto Q'$。其中心由"两对线段的中垂线 + 旋转角对应弧"决定。
• SAS 相似自动给出：若 $\triangle MP_1Q_1$ 与 $\triangle MP_2Q_2$ 满足 $MP_2/MP_1 = MQ_2/MQ_1 = k$、$\angle P_1MP_2 = \angle Q_1MQ_2 = \theta$，则它们 SAS 相似（参 SSS / SAS 相似判定），且 $\triangle MP_1Q_1$ 经旋转相似映到 $\triangle MP_2Q_2$。

何时用

题目中同时出现下列两个特征：

1. 目标含权重 + 夹角：求 $w_1\cdot d_1 + w_2 \cdot d_2$ 或类似，其中权重 $w_i$ 不为 $1$、$\sqrt 2$、$\sqrt 3$ 等"角对照表"内的值；
2. 两动点联动：两个动点在不同直线 / 圆上滑动，但被某个比例关系 $V_1 F : V_2 E = 1 : k$ 锁定。

这时绕某个共享顶点旋转 + 位似能把两段加权线段"拼成一段"，再用 [[triangle-inequality]] 收尾。

经典用法

用法一 · 任意权重费马点

目标 $w_A \cdot DA + w_B \cdot DB + w_C \cdot DC$ 最小，三个权重都任意（不在 $1/\sqrt 2/\sqrt 3$ 对照表里）。绕某个权重端点（比如 $B$）旋转 $\theta$ + 位似 $k = w_C / w_A$，把 $\triangle BPC$ 整体映到 $\triangle BP_2 C_2$。此时

• 位似比 $k = w_C / w_A$；
• 旋转角 $\theta$ 由余弦定理倒推：$\cos\theta = \dfrac{1 + k^{2} - (w_B / w_A)^{2}}{2k}$。

目标最小值 $= w_A \cdot |A C_2|$。

参 加权费马点（旋转 + 缩放通法）（特殊权重）的进一步推广。

用法二 · 两动点之间段最值

目标 $w \cdot DF + EF$，其中 $E, F$ 是两动点（在三角形相邻两边上滑），$V_1 F : V_2 E = 1 : k$ 联动。

找一个固定 pivot $M$ 使旋转相似把 $E \mapsto F$（旋转角 $\angle V_1 M V_2$、位似比 $1/w$）；此时 $FM = EF / w$，目标化为 $w(DF + FM) \ge w \cdot DM$（三点共线取等）。

等边三角形 + $w = \sqrt 3, k = 2$ 时，$\triangle V_1 V_2 M$ 退化为 30-60-90 直角三角形——这是手算 pivot 时常用的特殊配置。

陷阱

• 选错中心 / 选错权重端点：旋转相似的中心必须是被两动点共享或两段加权线段共顶点的那个点。选错则得不到对应的 SAS 相似。
• 角的方向：旋转角 $\theta$ 是有向角。题目里"顺时针 / 逆时针"的选择会影响像点 $P_2 / C_2$ 落到图形的哪一侧；落错一侧虽然仍然得到相似图形，但取等配置变了。
• $k$ 的方向：$k = w_C / w_A$ 还是 $w_A / w_C$ 取决于"目标加权和里要把谁化作 1"。先写下加权和、决定要消掉哪个系数，再选 $k$。
• 位似比 $\ne 1$ 时不能简化为"纯旋转"：纯旋转（$k = 1$）能用 SAS 全等；带 $k \ne 1$ 的旋转相似只能用 SAS 相似，得到的是"对应边比 $1 : k$"而非"对应边相等"。

应用题

待补充。

关联

• 旋转：保距、保角，对应点到旋转中心距相等 / 位似 —— 复合的两个分量
• SSS / SAS 相似判定 —— 验证旋转相似的核心准则
• [[triangle-inequality]] —— 拼成的折线收尾
• 费马点 / 加权费马点（旋转 + 缩放通法） —— 纯旋转 / 特殊权重的退化情形
• 手拉手模型（共顶点等腰） —— 纯旋转（$k = 1$）的中学命名版本