手拉手模型（共顶点等腰）

technique

两个共顶点的等腰三角形，连接两组对应外端（"拉手"），由 SAS 得到一对全等三角形；两条"拉手段"等长、夹角等于共顶角。

何时用

  • 题目里出现两个共顶点的等腰三角形（最常见：两个等边三角形、两个等腰直角、两个相同顶角的等腰三角形）
  • 要证两条"对角线"段等长、或求它们的夹角、或处理一段长度等于另一段
  • 出现"将 △ABC 绕某点旋转 α°"——绕点旋转 + 等腰条件 = 手拉手

核心招法

共顶点 + 共顶角 = 一对全等的"手"。 两条拉手段必等长，夹角等于共顶角。

共顶点等腰 △CAB 与 △CDE（顶角 α）：拉手段 AE = BD 且夹角 = α

构造步骤

设 △CAB 与 △CDE 共顶点 C，且都是顶角为 α 的等腰三角形（CA = CB，CD = CE，∠ACB = ∠DCE = α）。

  1. 找共角：把 ∠ACE 拆成 ∠ACB + ∠BCE 或 ∠ACD + ∠DCE，得到 ∠ACE = ∠BCD（"共角加法 / 减法"）。

    ∠ACE = ∠ACB + ∠BCE = ∠BCD：共角加减把对应角凑出来

  2. 对应边：CA = CB（等腰一），CE = CD（等腰二）。

  3. SAS 得全等：△ACE ≅ △BCD。

    △ACE ≅ △BCD 的 SAS 全等：CA=CB、∠ACE=∠BCD、CE=CD

  4. 读结论：AE = BD（两条"拉手"等长）；∠AEC = ∠BDC（用来追角）。

  5. 追夹角：AE 与 BD 的夹角 = α（共顶角）——常用"8 字"或"对顶三角形外角"得到。

为什么对

两个等腰三角形都以 C 为旋转中心、转角 α，把 A → B 同时把 E → D（或反向）。旋转保距、保角，故 AE = BD；两条线段在旋转下的"像"夹角恒等于旋转角 α。SAS 只是把这个旋转事实写成全等而已。

典型例题

  • 等边 △ABC 和等边 △CDE 共顶点 C（D、E 在 △ABC 外），求证 AE = BD 且 ∠APE = 60°（P 为 AE、BD 交点）

α=90° 退化：两个共顶点正方形 → BE = DG 且 BE ⊥ DG

  • 正方形 ABCD 与正方形 CEFG 共顶点 C，求证 BE = DG 且 BE ⊥ DG（α = 90° 的退化版）

变式 / 推广

  • 不等腰但相似——把 SAS 全等换成 SAS 相似，结论变成 AE / BD = 相似比，夹角仍 = 共顶角。这就过渡到了 瓜豆原理（旋转相似） / 旋转相似。
  • 共顶角为 60° 的特例配合外接等边三角形，给出 费马点 的构造。