半角模型（旋转拼合）

technique

顶角 2α2\alpha 的等腰图形里，从顶点引出的"半角 α\alpha"切下两段折线；把一段绕顶点旋转 2α2\alpha 拼到另一段所在边的延长上，两段就拼成一条直线段。

何时用

  • 正方形里出现 45°45° 角（最经典）：正方形 ABCDABCD 顶点 AA 处张开 ∠EAF=45°\angle EAF = 45°，EE 在 BCBC、FF 在 CDCD 上
  • 正三角形里出现 30°30° 角：等边 △ABC\triangle ABC 顶点 AA 处张开 ∠EAF=30°\angle EAF = 30°
  • 一般地：顶角为 2α2\alpha 的等腰图形里出现一个 α\alpha 角（"顶角的一半"）
  • 要证一条线段等于另两段之和（如 EF=BE+DFEF = BE + DF）

核心招法

把一段绕顶点旋转 2α2\alpha——三段拼成两个全等三角形，两段折线在新位置成一直线。

正方形 ABCD + ∠EAF = 45°：EF = BE + DF

构造步骤

以正方形 ABCDABCD + ∠EAF=45°\angle EAF = 45° 为例（EE 在 BCBC、FF 在 CDCD）：

  1. 旋转一段：把 △ABE\triangle ABE 绕 AA 顺时针旋转 90°90°（== 顶角 2α2\alpha），B→DB \to D，E→E′E \to E'。

    △ABE 绕 A 顺时针旋转 90°：B → D、E → E'

  2. 新点共线：∠ADE′=∠ABE=90°\angle ADE' = \angle ABE = 90°，又 ∠ADF=90°\angle ADF = 90°，故 E′E'、DD、FF 三点共线。

  3. 半角再现：∠E′AF=∠E′AD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°−45°=45°=∠EAF\angle E'AF = \angle E'AD + \angle DAF = \angle BAE + \angle DAF = 90° - 45° = 45° = \angle EAF。

  4. SAS 全等：AE′=AEAE' = AE（旋转），AF=AFAF = AF（公共），∠E′AF=∠EAF\angle E'AF = \angle EAF，得 △AE′F≅△AEF\triangle AE'F \cong \triangle AEF。

    △AE'F ≅ △AEF 的 SAS 全等：AE'=AE、∠E'AF=∠EAF、AF 公共

  5. 读结论：EF=E′F=E′D+DF=BE+DFEF = E'F = E'D + DF = BE + DF。

为什么对

旋转把 BB 转到 DD 的位置后，"原图绕 AA 的角度结构"只剩下一个 α\alpha（半角）和一个 α\alpha（旋转后的 E′E' 到 FF）——刚好凑出 SAS 全等的"边-角-边"。本质是：等腰顶角的一半 + 顶角旋转 = 把折线弯折点搬掉。

典型例题

  • 正方形 ABCDABCD，∠EAF=45°\angle EAF = 45°，E∈BCE \in BC、F∈CDF \in CD，求证 EF=BE+DFEF = BE + DF
  • 正方形 ABCDABCD，PP 在对角线上，∠MPN=90°\angle MPN = 90°，M∈ABM \in AB、N∈BCN \in BC，求 PM⋅PNPM \cdot PN 的最值

变式 / 推广

等边 △ABC + ∠EAF = 30°：顶角 60°、半角 30°，旋转 60° 拼合

  • 等边三角形 + 30°30° 半角：顶角 60°60°、半角 30°30°，旋转 60°60° 拼合
  • 任意等腰 + 顶角一半：顶角 2α2\alpha、半角 α\alpha，旋转 2α2\alpha；结论从"EF=BE+DFEF = BE + DF"变为带等腰腰长系数的等式
  • 顶角不等腰：等腰条件 AB=ADAB = AD 是必须的（旋转保距）；不等腰只能用相似版本（瓜豆原理（旋转相似））
  • 半角 α\alpha 角对应的 2\sqrt{2}（正方形）、3\sqrt{3}（等边）系数本质上是 2sin⁡α2\sin\alpha，提示了它和 加权费马点（旋转 + 缩放通法） 的权三角形是同一族机制