一线三等角（K 型相似）

technique

一条直线上三个相等的角同侧，相邻两段必构成一对 AA 相似三角形；用对应边比求线段长度。

何时用

  • 一条直线上同侧有三个相等角（最常见 90°90°，但任意 α\alpha 都成立）
  • 题目里有"折线 / Z 字 / K 字"的图形：直线上一动点 PP，两侧斜线分别与直线夹同一角度
  • 求线段长度比、定位"使两段成比例"的动点
  • 出现矩形 / 正方形里"动点折线"题：折点处的直角即一条边上的等角

核心招法

三个等角站一条线 ⇒ 相邻两个三角形 AA 相似：用对应边比 ABPC=BPCD\dfrac{AB}{PC} = \dfrac{BP}{CD} 解线段。

直线 ℓ 上 B、P、C + 同侧 A、D + 三个 α 角：△ABP ~ △PCD

构造步骤

设直线 ℓ\ell 上依次取三点 B,P,CB, P, C，A,DA, D 在 ℓ\ell 同侧，且 ∠ABP=∠APD=∠DCP=α\angle ABP = \angle APD = \angle DCP = \alpha：

  1. 找直线展开角：PP 处三角度数和 180°180°，即 ∠APB+α+∠DPC=180°\angle APB + \alpha + \angle DPC = 180°，故 ∠APB+∠DPC=180°−α\angle APB + \angle DPC = 180° - \alpha。

    P 处直线展开 180°：∠APB + α + ∠DPC = 180°

  2. 追三角形内角和：在 △ABP\triangle ABP 内 ∠BAP+∠APB+α=180°\angle BAP + \angle APB + \alpha = 180°，故 ∠BAP=180°−α−∠APB=∠DPC\angle BAP = 180° - \alpha - \angle APB = \angle DPC。

  3. AA 相似：∠ABP=∠PCD=α\angle ABP = \angle PCD = \alpha 且 ∠BAP=∠DPC\angle BAP = \angle DPC，得 △ABP∼△PCD\triangle ABP \sim \triangle PCD。

  4. 写比例：对应边一一配对——ABPC=BPCD=APPD\dfrac{AB}{PC} = \dfrac{BP}{CD} = \dfrac{AP}{PD}。

    AA 相似的对应边比：AB/PC = BP/CD = AP/PD

  5. 代入求解：通常已知三段、要求第四段；或建方程定 PP 的位置。

为什么对

"一条直线上三个等角"等价于"直线两侧的斜线方向相互对应"——这是相似变换的本质条件。直线展开角 180°180° 把第三个等角"传"过去，凑出 AA。本质上和"内错角 / 同位角"机制一样，只是角不再是 0°0° 或 90°90° 而是任意 α\alpha。

典型例题

  • 矩形 ABCDABCD 内，PP 在 BCBC 上，使 ∠APE=90°\angle APE = 90°（EE 在 CDCD 上），求 BPBP 与 CECE 的关系（α=90°\alpha = 90° 版本）
  • 等边三角形折叠：把顶角翻到底边上，三个 60°60° 角共线 → 两侧三角形相似

变式 / 推广

α = 90° 的 K 型 / 一线三直角：中考常见考点

  • 退化为直角（α=90°\alpha = 90°）：俗称"K 型"或"一线三直角"，最常见的中考考点。
  • 八字型 / X 型：两条直线交于一点、四个等角对顶——类似机制，得"对顶相似"。
  • 加上等腰条件（如 AB=BPAB = BP）：相似升级为全等，同时给出"绕折点旋转 α\alpha"的几何意义。