米勒定理

米勒定理（Miller's Theorem）——经典"最大视角"问题的标准解。

通用公式

$\max_{P\in\ell}\, \angle APB$

经典模型

• 动点 $P$：在直线 $\ell$ 上
• 定点 $A, B$：$\ell$ 同侧的两定点
• 关键约束：$A, B$ 必须在 $\ell$ 同侧；异侧时无极大值（连 $AB$ 与 $\ell$ 的交点处视角已为 $180°$，本质退化）

历史上由德国数学家 Johannes Müller（拉丁化为 Regiomontanus，1471 年）提出，是文献中最早的极值几何题之一。

结论

作过 $A, B$ 两点并与直线 $\ell$ 相切的圆 $\odot O$——这样的圆有两个，取与 $A, B$ 同侧的那个。设切点为 $P^{*}$。则 $\angle AP^{*}B$ 即为最大视角，且

$P^{*} \;\text{是 } \ell \text{ 上的唯一最优点}.$

切点位置由 [[power-of-a-point]] 算出：若 $\ell$ 与直线 $AB$ 交于点 $C$（$AB$ 延长线与 $\ell$ 的交点），则

$CP^{*\,2} \;=\; CA \cdot CB.$

证明（同弧圆周角 + 三角形外角）

取 $\ell$ 上任意一个非切点 $P$（与 $P^{*}$ 不同），要证 $\angle APB < \angle AP^{*}B$。

第一步：构造割点。 直线 $AP$ 与圆 $\odot O$ 的另一交点记为 $Q$（$\ell$ 与圆相切于 $P^{*}$，所以 $\ell$ 与圆只有一个公共点；过 $P \ne P^{*}$ 作过 $A$ 的直线必再与圆相交于第二点）。

第二步：同弧圆周角相等。 在 $\odot O$ 中，$A, Q$ 与 $B$ 所张的弦 $AB$ 的圆周角相同（$Q, P^{*}$ 都在 $\odot O$ 上、且与 $AB$ 同侧）。由 同弧所对圆周角相等 / 直径所对为直角：

$\angle AQB \;=\; \angle AP^{*}B.$

第三步：三角形外角不等式。 在 $\triangle PQB$ 中，$\angle AQB$ 是顶点 $Q$ 处的外角（$A, P, Q$ 共线、$P$ 在 $Q$ 与 $A$ 之间或 $Q$ 在 $P$ 与 $A$ 之间，取决于配置；两种情形下用外角不等式 三角形外角大于任一不相邻内角 得相同结论）：

$\angle AQB \;>\; \angle APB.$

第四步：拼起来。

$\angle AP^{*}B \;=\; \angle AQB \;>\; \angle APB.$

由 $P \ne P^{*}$ 任意，$P^{*}$ 给出唯一最大视角。$\qquad\blacksquare$

几何直观

把"动点 $P$ 看 $AB$ 的视角"看成"$P$ 在过 $A, B$ 的某个圆上时圆周角"。视角越大 ⇔ 该圆半径越小 ⇔ 圆越往 $\ell$ 方向"靠"。当圆恰好与 $\ell$ 相切时再"靠"就要穿过 $\ell$，再大视角对应的圆与 $\ell$ 不相交——所以切圆给出的视角是上确界，且在切点处取到。

何时用 / 识别口诀

• 题目里出现"在某条直线上找点 $P$，使从 $P$ 看某两个定点的夹角最大" → 米勒定理
• 题目里出现"地基线 + 两个观察点（如雕塑底/顶）求最佳观察位置" → 米勒定理的实际版本
• 注意区别：若 $A, B$ 在 $\ell$ 异侧则无极大值（连 $AB$ 与 $\ell$ 的交点处视角为 $180°$，本质退化）
• 若动点 $P$ 在圆上而非直线上，仍是同弧圆周角问题，但不再走米勒构造——直接用 同弧所对圆周角相等 / 直径所对为直角 比较

应用题

待补充。

关联

• 同弧所对圆周角相等 / 直径所对为直角 —— 同弧圆周角相等，证明的核心
• 三角形外角大于任一不相邻内角 —— 三角形外角不等式
• [[power-of-a-point]] —— 切点位置 $CP^{*2} = CA \cdot CB$
• 隐圆 —— "定边定角看圆"的更一般模型